Proposición 53

Trazar una tangente a una elipse que forme con el diámetro del punto de contacto un ángulo agudo dado que no sea menor que el adyacente al de las rectas que se quiebran en medio de la sección.

Sea una elipse cuyo eje principal es AB y cuyo eje secundario es CD , y centro E , y tracemos las rectas de unión AC y CB . Sea Y^ el ángulo dado y Y^ACG^, de manera que ACB^X^. Así Y^ACG^.

Supongamos en primer lugar que Y^=ACG^. Tracemos desde E una paralela EK a BC, y tracemos por K una tangente KH a la sección [Prop. II.49]. Ya que AE=EB, y AEEB=AFFC, así AF=FC. Además, KE es un diámetro, luego la tangente a la sección en K, esto es HKG, es paralela a CA [Prop. II.6]. Como EK es paralela a GB, tenemos que KFCG es un paralelogramo y así GKF^=GCF^. Como GCF^=Y^, tenemos que GKE^=Y^.

Supongamos ahora que Y^>ACG^, y por tanto X^<ACB^ .

Sea un arco de circunferencia MNP conteniendo un ángulo igual al ángulo X^ , y bisequemos MP en O , y desde O tracemos una perpendicular NOR a MP , y tracemos las rectas de unión NM y NP , así MNP^<ACB^.

Pero MNO^=12MNP^ y ACE^=12ACB^, luego MNO^<ACE^.

Como los ángulos E^ y O^ son rectos, entonces AEEC>OMON.

Tenemos MNO^=ACB^ y MON^=AEC^. Pongamos, ICE^=MNO^, entonces se tiene que IEEC=OMON. Como AEEC>IEEC [Euclides:Prop. V.8], entonces AEEC>OMON.

Por tanto AE2EC2>MO2NO2.

Como AE=EB, entonces AE2=AE∙EB y como MO=OP, entonces MO2=MO∙OP, de donde teniendo en cuenta que las cuerdas MG y NR se cortan, [Euclides:Prop. III.35] tenemos que MO∙OP=NO∙OR, luego MO2=NO∙OR. Como AE2EC2>OM2ON2, tenemos que AEEBEC2>ORON. Ahora bien, [Prop. I.21] tenemos que AEEBEC2=transversumrectum, luego transversumrectum>ORON.

Pero AE2=AE∙EB , y [Euclides:Prop. III.35] MO2= MO∙OP=NO∙OR, así AEEBEC2=transversumrectum>ROON [Prop. I.21].

Hagamos que ABCB=transversumrectum, y bisequemos A'C' en D' . Ya que ABBC>ORON, tenemos que AB+BCBC>OR+ONON, esto es, ACBC>NRNO, de donde AC2BC>RN2NO. Sea U el centro de la circunferencia , entonces DCBC>UNON. Así CDBCBC>UNONON, esto es, BDBC>UOON.

Sea OW>ON, de manera que OUOW=BDBC , y tracemos WQ, OS y UV paralelas . Como SVSQ=OUOW, entonces SVSQ=BDBC, de donde SV+SQSQ=BD+BCBC, esto es, VQQS=CDBC. Por tanto 2VQSQ=2CDBC, esto es, QTQS=ACBC. Así TQSQSQ=ACBCBC, esto es, STSQ=ABCB. Como ABBC=transversumrectum, entonces STSQ=transversumrectum.

Tracemos las rectas de unión MQ y QP , y construyamos, sobre la recta AE y en el punto E, un ángulo AEK^=MPQ^, y tracemos desde K la tangente KH a la sección [Prop. II.49], y tracemos KL como ordenada. Ya que MPQ^=AEK^, y el ángulo recto S^ es igual al ángulo recto L^, entonces los triángulos QSP y KEL son semejantes, luego LEKL=SPSQ. Y como transversumrectum=TSSQ, entonces TSSQSQ2=transversumrectum, y como las cuerdas TQ,MP se cortan, TS∙SQ=MS∙SP y así MSSPSQ2=transversumrectum. Como HLLEKL2=transversumrectum [Prop. I.37], entonces MSSPSQ2=HLLEKL2, o MSSQSPSQ=HLKLLEKL, de donde MSSQ=HLKL. Así el triángulo KLH es semejante al triángulo QSM, y el triángulo MQP es semejante al triángulo KHE y así MQP^=HKE^. Pero MQP^=MNP^=X^, así HKE^=X^. Y así GKE^=Y^.

Tracemos una tangente GH a la sección que forma con el diámetro KE, trazado por el punto de corte, un ángulo GKE^=Y^, y esto es lo que teníamos que hacer.

Q. E. D.