Si en la tangente en el vértice de una hipérbola se toma a uno y otro lado del diámetro una recta cuyo cuadrado equivale a la cuarta parte de la figura, las rectas del centro de la sección a los extremos de las tomadas en la tangente no cortarán a la curva.

Sea una hipérbola de diámetro AB Paso 1, centro G Paso 2 y lado recto BZ Paso 3; DE la tangente en B Paso 4 y $\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2=\mathrm{B}{\mathrm{E}}^2=\frac{1}{4}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{Z}$; unamos G con D y con E y prolonguemos las rectas de unión Paso 5.

Digo que estas rectas no encontrarán a la sección.

Supongamos que la recta GD corta a la sección en H Paso 6 y desde H trazamos la recta HQ como una ordenada Paso 7, así es paralela a DB [Prop. I.17]. Ya que $\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2=\mathrm{B}{\mathrm{E}}^2=\frac{1}{4}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{Z}$ y $\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2=\frac{1}{4}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2}{\frac{1}{4}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{Z}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{Z}}}$. Ya que, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{Q}{\mathrm{H}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{Z}}}$. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}{\mathrm{Q}{\mathrm{H}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{Z}}}$ [Prop. I.21], así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}{\mathrm{Q}{\mathrm{H}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{Q}{\mathrm{H}}^2}}$.

Así $\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}=\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2$, luego $(\mathrm{G}\mathrm{Q}+\mathrm{G}\mathrm{B})(\mathrm{G}\mathrm{Q}-\mathrm{G}\mathrm{B})=\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2-\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2=\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2$ y esto es imposible. Así GD no corta a la sección. Análogamente se demostraría que GE tampoco la cortaría, así GD y GE son asíntotas de la sección.

Q. E. D.