Si en la tangente en el vértice de una hipérbola se toma a uno y otro lado del diámetro una recta cuyo cuadrado equivale a la cuarta parte de la figura, las rectas del centro de la sección a los extremos de las tomadas en la tangente no cortarán a la curva.

Sea una hipérbola de diámetro AB Paso 1, centro G Paso 2 y lado recto BZ Paso 3; DE la tangente en B Paso 4 y \(\rm BD^2=BE^2=\frac{1}{4}AB\cdot BZ\); unamos G con D y con E y prolonguemos las rectas de unión Paso 5.

Digo que estas rectas no encontrarán a la sección.

Supongamos que la recta GD corta a la sección en H Paso 6 y desde H trazamos la recta HQ como una ordenada Paso 7, así es paralela a DB [Prop. I.17]. Ya que \(\rm BD^2=BE^2=\frac{1}{4}AB\cdot BZ\) y \(\rm GB^2=\frac{1}{4}AB^2\), entonces \(\rm\dfrac{GB^2}{BD^2}=\dfrac{\frac{1}{4}AB^2}{\frac{1}{4}AB\cdot BZ}=\dfrac{AB}{BZ}\). Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{GQ}{QH}=\dfrac{GB}{BD}\), entonces \(\rm\dfrac{GQ^2}{QH^2}=\dfrac{AB}{BZ}\). Ya que \(\rm\dfrac{AQ\cdot QB}{QH^2}=\dfrac{AB}{BZ}\) [Prop. I.21], así \(\rm\dfrac{AQ\cdot QB}{QH^2}=\dfrac{GQ^2}{QH^2}\).

Así \(\rm AQ\cdot QB=GQ^2\), luego \(\rm (GQ+GB)(GQ-GB)=GQ^2-GB^2=GQ^2\) y esto es imposible. Así GD no corta a la sección. Análogamente se demostraría que GE tampoco la cortaría, así GD y GE son asíntotas de la sección.

Q. E. D.