Dada una hipérbola o una elipse, encontrar el eje.

Sea ABC la hipérbola o la elipse.

Se trata de construir su eje.

Supongamos el problema resuelto, y sea KD el eje, y K el centro de la sección, así la recta KD biseca y será perpendicular a todas las ordenadas [Def. I.7]. Tracemos, pues, la perpendicular CDA y las rectas de unión KA y KC y por ser DC=DA entonces KC=KA. Si fijamos el punto C, la recta CK será conocida y, por tanto, la circunferencia descrita desde K como centro y radio KC pasará por A y estará posicionada. Y como también lo está la sección cónica ABC quedará conocido el punto A. Como hemos fijado C, la recta CA queda posicionada y por ser CD=DA, también conoceremos el punto D. Por conocer el punto K, la recta DK estará posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Dada la hipérbola o la elipse ABC Paso 1, determinaremos su centro K [Prop. II.45] Paso 2. Tomemos un cualquiera C, describamos la circunferencia CEA de centro K y radio KC Paso 3, y tracemos la recta CA Paso 4, que bisecaremos por el punto D Paso 5, tracemos las rectas de unión KC, KD y KA Paso 6, y prolonguemos la recta KD hasta el punto B. Entonces ya que DA=DC, la DK común y KA=KC, la recta KDB biseca a la recta ADC y es perpendicular a ella, luego es un eje [Def. I.7].

Si trazamos por el punto K la recta MKN paralela a CA Paso 7, entonces MN es el eje de la hipérbola conjugado del BK [Def. I.8].

Q. E. F.