Por un punto dado en el interior del ángulo de dos rectas dadas trazar una hipérbola tal que las dos rectas sean asíntotas.
Sean AB y AG las dos rectas dadas , que forman en A un ángulo cualquiera, y D un punto interior . Queremos describir una hipérbola que pase por D y con asíntotas GA y AB.
Tracemos la recta de unión AD y prolonguémosla hasta E, tomemos AE=DA , y tracemos desde D una paralela DZ a AB, y tomemos ZG=AZ , y tracemos la recta de unión GD
y prolonguémosla hasta B , consideremos \(\rm DE\cdot H=BG^2\) y construyamos la hipérbola que pase por D de modo que las rectas trazadas ordenadamente equivalgan a
las áreas aplicadas a H aumentadas en una figura semejante al rectángulo de DE y H .
Ya que DZ es paralela a BA y GZ=ZA, será DG=DB y, por tanto,\(rm GB=2GD\), de donde \(\rm GB^2=4GD^2\). Y como \(\rm GB^2=DE\cdot H\), entonces \(\rm GD^2=DB^2=\frac{1}{4}DE\cdot H\).
Así AB y AG son las asíntotas de la hipérbola construida [Prop. II.1].
Q. E. F.