Por un punto dado en el interior del ángulo de dos rectas dadas trazar una hipérbola tal que las dos rectas sean asíntotas.

Sean AB y AG las dos rectas dadas Paso 1, que forman en A un ángulo cualquiera, y D un punto interior Paso 2. Queremos describir una hipérbola que pase por D y con asíntotas GA y AB.

Tracemos la recta de unión AD y prolonguémosla hasta E, tomemos AE=DA Paso 3, y tracemos desde D una paralela DZ a AB, y tomemos ZG=AZ Paso 4, y tracemos la recta de unión GD y prolonguémosla hasta B Paso 5, consideremos $\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{H}=\mathrm{B}{\mathrm{G}}^2$ Paso 6 y construyamos la hipérbola que pase por D de modo que las rectas trazadas ordenadamente equivalgan a las áreas aplicadas a H aumentadas en una figura semejante al rectángulo de DE y H Paso 7.

Ya que DZ es paralela a BA y GZ=ZA, será DG=DB y, por tanto,$rmGB=2GD$, de donde $\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2=4\mathrm{G}{\mathrm{D}}^2$. Y como $\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2=\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{H}$, entonces $\mathrm{G}{\mathrm{D}}^2=\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2=\frac{1}{4}\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{H}$. Así AB y AG son las asíntotas de la hipérbola construida [Prop. II.1].

Q. E. F.