Si por el centro de las secciones opuestas conjugadas se traza una paralela a una tangente a una de las secciones hasta que corte a una de las adyacentes, y se une el centro con el punto de contacto, la recta que toca a la sección en el punto de encuentro es paralela a la de unión del centro y el punto de contacto y las rectas que pasan por los puntos de contacto y por el centro son diámetros conjugados.

Sean las hipérbolas opuestas conjugadas Paso 1 cuyos diámetros conjugados son AB y GD Paso 2, y centro X Paso 3, y tracemos a la hipérbola A una tangente EZ Paso 4, que prolongada, cortará a la recta GD en un punto T Paso 5, y tracemos la recta de unión EX Paso 6 y prolonguémosla hasta su encuentro en C con la hipérbola B Paso 7 y desde X tracemos una paralela a EZ Paso 8, y tracemos por H una tangente a la sección Paso 9.

Digo que HQ es paralela a EX y que las rectas HO y EC son diámetros conjugados.

Tracemos KE, HL y GRP como ordenadas Paso 10, y sean \(\rm AM=lado recto_{AB}\) y \(\rm GN=lado recto_{GD}\) Paso 11. Ya que \(\rm AB\cdot AM=GD^2\) y \(\rm NG\cdot GD=AB^2\) [Prop. I.60], se tiene que \(\rm \dfrac{AB}{GD}=\dfrac{GD}{AM}\) y \(\rm \dfrac{NG}{AB}=\dfrac{AB}{GD}\), de donde \(\rm \dfrac{NG}{AB}=\dfrac{GD}{AM}\), y por tanto \(\rm \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{NG}{GD}\).

Como \(\rm \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{XK\cdot KZ}{KE^2}\), y \(\rm \dfrac{NG}{GD}=\dfrac{HL^2}{XL\cdot LQ}\) [Prop. T.37], entonces \(\rm\dfrac{XK\cdot KZ}{EK^2}=\dfrac{HL^2}{XL\cdot LQ}\), o \(\rm \dfrac{XK}{KE}\cdot \dfrac{ZK}{KE}=\dfrac{HL}{LX}\cdot\dfrac{HL}{LQ}\).

Pero, por semejanza de los triángulos EKZ, XLH, se tiene que \(\rm \dfrac{ZK}{KE}=\dfrac{HL}{LX}\). En consecuencia \(\rm \dfrac{XK}{KE}=\dfrac{HL}{LQ}\).

Entonces, los triángulos EZX, HQL son semejantes, y sus ángulos subtendidos por los lados homólogos son iguales. Así \(\widehat{\rm EXK} = \widehat{\rm LHQ}\). Como, \(\widehat{\rm KXH} = \widehat{\rm LHX}\), entonces \(\widehat{\rm EXH}=\widehat{\rm KXH}-\widehat{\rm EXK} = \widehat{\rm LHX}-\widehat{\rm LHQ}=\widehat{\rm QHX}\). Luego la recta EX es paralela a la recta HQ.

Hagamos que \(\rm\dfrac{PH}{HR}=\dfrac{QH}{S}\); así \(\rm S=\frac{1}{2}lado recto_{HO}\) [Prop. I.51]Paso 12.

Ya que GD es el diámetro conjugado de las secciones A y B, y ET lo corta, entonces, \(\rm TX\cdot EK =GX^2\) [Prop. I.38]. Y así \(\rm\dfrac{TX\cdot EK}{TX^2}=\dfrac{GX^2}{TX^2}\), luego \(\rm\dfrac{TX^2}{GX^2}=\dfrac{TX}{EK}\). Ya que, por semejanza de triángulos, se tiene que \(\rm\dfrac{TZ}{ZE}=\dfrac{TX}{EK}\), y considerando los triángulos de igual altura TXZ, EZX, se tiene que \(\rm \dfrac{△TXZ}{△EZX}=\dfrac{TZ}{ZE}\), luego \(\rm \dfrac{△TXZ}{△EZX}=\dfrac{TX}{EK}\). Por otra parte, por la semejanza de los triángulos TXZ,XGP, \(\rm\dfrac{△TXZ}{△XGP}=\dfrac{TX^2}{GX^2}\) [Euclides:Prop. VI.19]. Ya que los triángulos XGP, HQX son semejantes [Prop. II.1], entonces \(\rm\dfrac{△XTZ}{△HQX}=\dfrac{TX^2}{GX^2}\). Así \(\rm\dfrac{△TXZ}{△HQX}=\dfrac{△TXZ}{△EZX}\) y por tanto △HQX =△EZX. Pero \(\widehat{\rm XEZ}=\widehat{\rm QHX}\); pues EY es paralela HQ, y EZ a HX. Así los lados de los ángulos iguales son inversamente proporcionales [Euclides:Prop. VI.15]. Así \(\rm\dfrac{EZ}{HX}=\dfrac{HQ}{EX}\); así EZ∙EX = HQ∙HX.

Se tiene que \(\rm\dfrac{RH}{HP}=\dfrac{S}{QH}\), y, por la semejanza de los triángulos EZX, HPR, se tiene que \(\rm\dfrac{XE}{EZ}=\dfrac{RH}{HP}\), luego \(\rm\dfrac{XE}{EZ}=\dfrac{S}{QH}\).

Pero, \(\rm\dfrac{XE^2}{XE\cdot EZ}=\dfrac{S\cdot XH}{QH\cdot XH}\), entonces \(\rm S\cdot XH=XE^2\). Ya que \(\rm S=\frac{1}{2}lado recto_{HO}\), mientras que \(\rm KX=\frac{1}{2}HO\) y \(\rm EX=\frac{1}{2}EC\) [Prop. I.30], luego \(\rm \frac{1}{2}lado recto_{HO}\cdot\frac{1}{2}HO=\frac{1}{4}EC^2\). Por tanto \(\rm lado recto_{HO}\cdot HO=EC^2\). Análogamente podemos demostrar que \(\rm HO^2 = lado recto_{HO}\cdot EC\). Así EC y HO son diámetros conjugados de las hipérbolas opuestas A, B, G y D [Prop. I.60].

Q. E. D.