Trazar, a una sección cónica, una tangente que forma un ángulo agudo dado con el eje de la sección.

Supongamos que la sección cónica es una parábola cuyo eje es AB. Se trata de trazar una tangente a la sección que forme con el eje AB, al mismo lado de la sección, un ángulo igual a un ángulo agudo dado.

Supongamos el problema resuelto, y que la tangente sea la recta CD. Así el ángulo \(\widehat{\rm BDC}\) está dado. Tracemos la perpendicular BC, así el ángulo en B también está dado. Entonces \(\rm \dfrac{DB}{BC}\) está dado. Como \(\rm \dfrac{BD}{BA}\) está dado, entonces también \(\rm \dfrac{AB}{BC}\) está dado. Además, el ángulo en B está dado, luego el ángulo \(\widehat{\rm BAC}\) está también dado. Por otra parte, este último es adyacente a la recta BA que está posicionada, y está situado en el punto dado A, luego la recta CA está posicionada. Como la sección está también posicionada, entonces el punto C está dado. Finalmete, la recta CD es tangente, luego la recta CD está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: sea una parábola la sección cónica dada cuyo eje es AB Paso 1, y \(\widehat{\rm EFG}\) el ángulo agudo dado Paso 2. Tomemos un punto E sobre la recta EF, y tracemos una perpendicular EG Paso 3. Bisequemos la recta FG en el punto H Paso 4, y tracemos la recta de unión HE Paso 5. Tomemos \(\widehat{\rm BAC}=\widehat{\rm GHE}\) Paso 6, y tracemos la perpendicular BC Paso 7. Tomemos AD=BA Paso 8, y tracemos la recta de unión CD Paso 9. Entonces la recta CD [Prop. I.33] es tangente a la sección.

Digo que \(\widehat{\rm CDB}=\widehat{\rm EFG}\).

En efecto, ya que \(\rm \dfrac{DB}{BA}=\dfrac{FG}{GH}\), y que, por semejanza de los triángulos CBA y EHG, se tiene \(\rm \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HG}{GE}\), entonces \(\rm \dfrac{DB}{BC}=\dfrac{FG}{GE}\). Además, los ángulos \(\widehat{\rm G}\) y \(\widehat{\rm B}\) son rectos, así, por semejanza de los triángulos CDB y EFG, se tiene que \(\widehat{\rm F}=\widehat{\rm D}\).

Supongamos que la sección cónica es una hipérbola, y supongamos el problema resuelto, y sea CD una tangente. Sea J el centro de la sección, y tracemos la recta de unión CJ y la perpendicular CE. Entonces \(\rm \dfrac{JE\cdot ED}{CE^2}=\dfrac{lado transverso}{lado recto}\) [Prop. I.37]. Como \(\rm \dfrac{CE^2}{ED^2}\) está dado, ya que para cada uno de los ángulos \(\widehat{\rm CDE}\) y \(\widehat{\rm DEC}\) están dados, entonces \(\rm \dfrac{JE\cdot ED}{ED^2}\) está también dado, luego \(\rm\dfrac{JE}{ED}\) está igualmente dado. Además el ángulo \(\widehat{\rm E}\) está dado, luego el ángulo \(\widehat{\rm J}\) está dado. Entonces una cierta recta CJ ha sido trazada bajo un cierto ángulo sobre una recta JE posicionada en un punto dado J, así CJ está posicionada. Como la sección también está posicionada, entonces el punto C está dado. Finalmente una tangente CD ha sido trazada, luego la recta CD está posicionada.

Tracemos la asíntota JF a la hipérbola, así la prolongación de la recta CD [Prop. II.3] corta a la asíntota. Sea F el punto de corte. Entonces \(\widehat{\rm FDE}>\widehat{\rm FJD}\). Por consiguiente, es necesario, para realizar la construcción, que el ángulo agudo dado sea mayor que la mitad del ángulo comprendido entre las dos asíntotas.

La construcción será, pues, la siguiente: sea la hipérbola dada de eje AB Paso 10, JF la asíntota Paso 11, y el ángulo agudo dado tal que \(\widehat{\rm KHG}>\widehat{\rm AJF}\) y \(\widehat{\rm KHL}=\widehat{\rm AJF}\) Paso 12 y tracemos desde el punto A una perpendicular AF a la recta AB Paso 13. Finalmente, tomemos un punto G sobre la recta GH, y tracemos desde él una perpendicular GK a la recta HK Paso 14. Entonces, ya que \(\widehat{\rm FJA}=\widehat{\rm LHK}\), y los ángulos \(\widehat{\rm A}\) y \(\widehat{\rm K}\) son rectos, entonces los triángulos equiángulos FJA y LHK, establecen \(\rm \dfrac{KA}{AF}=\dfrac{HK}{KL}\). Como GK>KL, entonces \(\rm \dfrac{HK}{KL}>\dfrac{HK}{GK}\), de donde \(\rm \dfrac{JA}{AF}>\dfrac{HK}{GK}\), y así \(\rm \dfrac{JA^2}{AF^2}>\dfrac{HK^2}{GK^2}\).

Pero [Prop. II.1] \(\rm \dfrac{JA^2}{AF^2}=\dfrac{lado transverso}{lado recto}\), así \(\rm \dfrac{lado transverso}{lado recto}>\dfrac{HK^2}{KG^2}\).

Hagamos \(\rm \dfrac{JA^2}{AF^2}=\dfrac{MK\cdot KH}{KG^2}\), con MK∙KH>HK², y tracemos la recta de unión GM Paso 15.

Ya que MK² >MK∙KH, así \(\rm \dfrac{MK^2}{KG^2}>\dfrac{MK\cdot KH}{KG^2}=\dfrac{JA^2}{AF^2}\).

Si lo hacemos de manera que el cuadrado de MK es al cuadrado de KG como el cuadrado de JA es a otra magnitud, con esa magnitud menor que el cuadrado de AF, y por otra parte la recta de unión de J al punto tomado formará triángulos semejantes, y así \(\widehat{\rm FJA} > \widehat{\rm GMK}\). Hagamos \(\widehat{\rm AFC}=\widehat{\rm GMK}\), así JC cortará a la sección [Prop. II.2]Paso 16. Sea C el punto de corte, y desde C tracemos una tangente CD a la sección [Prop. II.49]Paso 17, y tracemos la perpendicular CE Paso 18, así el triángulo CJE es semejante al triángulo GMK. Así \(\rm \dfrac{JE^2}{EC^2}=\dfrac{MK^2}{KG^2}\).

Pero también [Prop. I.37] \(\rm \dfrac{lado transverso}{lado recto}=\dfrac{JE\cdot ED}{EC^2}\), y \(\rm \dfrac{lado transverso}{lado recto}=\dfrac{MK\cdot KH}{KG^2}\). E inversamente \(\rm \dfrac{CE^2}{JE\cdot ED}=\dfrac{GK^2}{MK\cdot KH}\), así JE/ED=MK/KH. Y así \(\rm \dfrac{JE}{ED}=\dfrac{MK}{KH}\). Pero también tenemos \(\rm \dfrac{CE}{EJ}=\dfrac{GK}{KM}\), así \(\rm \dfrac{CE}{ED}=\dfrac{GK}{KH}\).

Y los ángulos \(\widehat{\rm E}\) y \(\widehat{\rm K}\) son rectos, así \(\widehat{\rm D}=\widehat{\rm GHK}\).

Supongamos que la sección cónica es una elipse cuyo eje es AB Paso 19. Se requiere trazar una tangente a la sección que con el eje comprenda, al mismo de la sección, un ángulo igual a un ángulo agudo.

Supongamos el problema resuelto, y sea CD una tangente. Así el ángulo CDA está dado. Tracemos la perpendicular CE, así \(\rm \dfrac{DE^2}{EC^2}\) está dado. Sea J el centro de la sección, y tracemos la recta de unión CJ. Entonces \(\rm \dfrac{CE^2}{DE\cdot EJ}\) está dado, pues [Prop. I.37] \(\rm \dfrac{CE^2}{DE\cdot EJ}=\dfrac{lado recto}{lado transverso}\), y así \(\rm \dfrac{DE^2}{DE\cdot EJ}\) está dado, y así \(\rm \dfrac{DE^2}{EJ^2}\) está dado. Y \(\rm \dfrac{DE}{EC}\) también está dado, así \(\rm \dfrac{CE}{EJ}\) está dado.

Y el ángulo \(\widehat{\rm E}\) es recto, así el ángulo \(\widehat{\rm J}\) está dado. Por otra parte, es aplicada a una recta dada en posición y situada en un punto dado, así C está dado. Y desde el punto dado C trazamos la tangente CD, así CD está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Sea dado un ángulo agudo \(\widehat{\rm FGH}\) Paso 20, tomemos un punto F sobre FG, y tracemos la perpendicular FH Paso 21, de manera que \(\rm \dfrac{lado recto}{lado transverso}=\dfrac{FH^2}{GH\cdot HK}\), y tracemos la recta de unión KF Paso 22, y sea J el centro de la sección Paso 23, y sea \(\widehat{\rm AJC}=\widehat{\rm GKF}\) Paso 24, y tracemos la tangente CD a la sección [Prop. II.49]Paso 25.

Digo que CD resuelve el problema, esto es \(\widehat{\rm CDE}=\widehat{\rm FGH}\) Paso 26. Ya que \(\rm \dfrac{JE}{EC}=\dfrac{KH}{FH}\), así \(\rm \dfrac{JE^2}{EC^2}=\dfrac{KH^2}{FH^2}\). Pero \(\rm \dfrac{EC^2}{DE\cdot EJ}=\dfrac{FH^2}{KH\cdot HG}=\dfrac{lado recto}{lado transverso}\) [Prop. I.37]. Y así \(\rm \dfrac{JE^2}{DE\cdot EJ}=\dfrac{KH^2}{KH\cdot HG}\). Y así \(\rm \dfrac{JE}{ED}=\dfrac{KH}{HG}\).

Pero \(\rm \dfrac{JE}{EC}=\dfrac{KH}{FH}\), así \(\rm \dfrac{DE}{EC}=\dfrac{HG}{FH}\).

Y los lados de los ángulos rectos son proporcionales, así \(\widehat{\rm CDE}=\widehat{\rm FGH}\). Así CD resuelve el problema.

Q. E. F.