Si una recta es tangente a una de las secciones opuestas y se le traza una paralela en la otra sección, la recta que une el punto medio de esta con el de contacto de aquella, es un diámetro.
Sean A y B las hipérbolas opuestas y, tracemos desde el punto A una tangente CD a A , y tracemos una paralela EF a CD en la otra hipérbola , que será bisecada en G ,
y tracemos la recta de unión AG .
Digo que AG es un diámetro de las hipérbolas opuestas.
Supongamos que AHK es un diámetro , así la tangente en H es paralela a CD [Prop. II.31]. Pero CD es paralela a EF, y así la tangente en H es paralela a EF.
Así EK=KF [Prop. I.47], y esto es imposible ya que EG=GF. Así AH no es un diámetro de las hipérbolas opuestas. Así AB es un diámetro.
Q. E. D.