Proposición 2

Dadas las mismas cosas que antes, demostrar que no hay ninguna otra asíntota comprendida en el ángulo de las rectas GD y GE.

Supongamos que hay otra asíntota GQ , y tracemos por B una paralela BQ a GD que corta a GQ en el punto Q , y tomemos DH=BQ, y tracemos la recta de unión HQ que prolongaremos hasta los puntos K, L y M de intersección con la hipérbola, su diámetro y la recta GE, respectivamente . Ya que BQ y DH son iguales y paralelas, también serán iguales y paralelas DB y HQ . Ya que AB es bisecada en G y haberse añadido BL a ella, $A L \cdot L B + G B^{2} = (G L + G B) (G L - G B) + G B^{2}$ $= G L^{2} - G B^{2} + G B^{2} = G L^{2}$ [Euclides:Prop. II.6]. Análogamente, ya que HM es paralela a DE y DB=BE, será LH=LM.

Y ya que HQ=DB, $K H > D B$ . Como $M K > B E$ , ya que $L M > B E$ , entonces $M K \cdot K H > D B \cdot B E$ , y como DB=BE, entonces $M K \cdot K H > D B^{2}$ .

Por otra parte, $\frac{G B^{2}}{B D^{2}} = \frac{A B}{B Z}$ [Prop. II.1] y $\frac{A L \cdot L B}{L K^{2}} = \frac{A B}{B Z}$ [Prop. I.21] y , por semejanza de triángulos, $\frac{G L^{2}}{L H^{2}} = \frac{G B^{2}}{B D^{2}}$ , de donde $\frac{A L \cdot L B}{L K^{2}} = \frac{G L^{2}}{L H^{2}}$ , luego $\frac{G L^{2} - A L \cdot L B}{L H^{2} - L K^{2}} = \frac{G L^{2}}{L H^{2}}$ .

Entonces, ya que $G L^{2} - A L \cdot L B = G B^{2}$ y $L H^{2} - L K^{2} = (L H + L K) (L H - L K) = M K \cdot K H$ , se tiene que $\frac{G B^{2}}{M K \cdot K H} = \frac{G L^{2}}{L H^{2}}$ y como $\frac{G L^{2}}{L H^{2}} = \frac{G B^{2}}{B D^{2}}$ , entonces $\frac{G B^{2}}{M K \cdot K H} = \frac{G B^{2}}{B D^{2}}$ . Por tanto $M K \cdot K H = B D^{2}$ , y esto es imposible ya que ha sido demostrado que $M K \cdot K H > B D^{2}$ . Así QH no es una asíntota a la sección.

Q. E. D.