La recta que corta a los lados del ángulo adyacente al de las asíntotas de una hipérbola, corta a esta en un solo punto y el rectángulo de las rectas separadas entre los lados del ángulo y la sección equivale a la cuarta parte del cuadrado del diámetro paralelo a la recta secante.
Sea una hipérbola de asíntotas GA y AD , y prolonguemos AD hasta un punto E , y desde él tracemos la recta EZ que corta a las rectas EA y AG .
Es evidente ahora que corta a la sección en un solo punto, ya que la paralela AB a EZ trazada desde A , cortará al ángulo GAD y
cortará a la sección [Prop. II.2] y será un diámetro [Gor. Prop. I.51], así cortará a la sección en un único punto H [Prop. I.26] .
Digo que \(\rm EH\cdot HZ=AB^2\).
Tracemos por H una recta QHLK como ordenada , así la tangente GD por B es paralela a HQ [Prop. II.5] . Ya que
GB=DB [Prop. II.3], así \(\rm\dfrac{GB^2}{BA^2}=\dfrac{GB\cdot BD}{BA^2}=\dfrac{GB}{BA}\cdot\dfrac{BD}{BA}\). Pero, por semejanza de triángulos,
\(\rm\dfrac{GB}{BA}=\dfrac{QH}{HZ}\) y \(\rm\dfrac{DB}{BA}=\dfrac{HK}{HE}\), así
\(\rm\dfrac{GB^2}{BA^2}=\dfrac{HQ}{HZ}\cdot \dfrac{HK}{HE}=\dfrac{QH\cdot HK}{HZ\cdot HE}\), luego \(\rm\dfrac{HZ\cdot HE}{BA^2}=\dfrac{QH\cdot HK}{GB^2}\).
Pero, \(\rm QH\cdot HK=GB^2\) [Prop. II.10], así \(\rm HZ\cdot HE=BA^2\).
Q. E. D.