La paralela a una de las asíntotas de una hipérbola corta a la curva en un solo punto.
Sea una hipérbola de asíntotas GA y AB , y tomemos un punto E en la sección [en la región acotada por las asíntotas y la sección] , y desde él tracemos una paralela EZ a AB .
Digo que cortará a la sección.
Supongamos que no la corte, y tomemos un punto H sobre la sección , y desde H tracemos paralelas HG y HQ a GA y AB , y sea GH∙HQ=AE∙EZ, y tracemos la recta de unión AZ y prolonguésmola ,
entonces cortará a la sección [Prop. II.2]. Sea K el punto de corte , y desde K tracemos paralelas KL y KD a GA y AB ,
así GH∙HQ=LK∙KD [Prop. II.12].
Y por hipótesis GH∙HQ=AE∙EZ, así LK∙KD= KL∙LA= AE∙EZ, y esto es imposible, ya que KL>EZ y LA>AE.
Así EZ cortará a la sección. Sea M el punto de corte .
Digo que no la cortará en ningún otro punto.
Supongamos que también la cortara en N , y desde M y N tracemos paralelas MC y NB a GA . Así EM∙MC=EN∙NB [Prop. II.12], y esto es imposible.
Así no cortará a la sección en ningún otro punto.
Q. E. D.