Si la recta que une los puntos de contacto de dos tangentes a las secciones opuestas de una hipérbola pasa por el centro, las tangentes serán paralelas, y si no pasa se cortarán del lado en que está el centro.
Sean A y B las hipérbolas opuestas , y CAD y EBF tangentes a las hipérbolas opuestas en A y B , y que la recta de unión AB pase primero por el centro de las hipérbolas .
Digo que CD es paralela a EF.
Ya que son hipérbolas opuestas para las que AB es un diámetro, y CD es tangente a una de ellas en A, así la paralela a CD trazada desde B
corta a la sección [Prop. I.44] . Pero EF es tangente, así CD es paralela a EF.
Supongamos que la recta AB no pasa por el centro de las hipérbolas , y tracemos un diámetro AG de la hipérbolas , y sea HK tangente a la sección , entonces HK es paralela a CD,
y ya que EF y HK son tangentes a las hipérbolas, así se cortarán [Prop. II.25]. Y HK y CD son paralelas, así las prologaciones de CD y EF se cortarán.
Y es evidente que están al mismo lado que el centro.
Q. E. D.