Encontrar el eje de una sección cónica dada.

Sea la sección una parábola que contiene a los puntos F, C y E.

Se trata de construir su eje.

Construyamos un diámetro AB [Prop. II.44]. Si es un eje queda resuelto el problema, pero si no lo es, supongamos el problema resuelto, y sea CD el eje. Así CD será paralelo a AB [Cor. Prop. I.51] y bisecará a las perpendiculares a él [Def. I.7]. Y como las perpendiculares a CD también lo son a AB, CD bisecará a las perpendiculares a AB. Luego si fijamos una EF perpendicular a AB, será ED=DF, y conoceremos el punto D, y como la recta CD es paralela a AB dada en posición, también lo está CD.

La construcción será, pues, la siguiente: Dada la parábola Paso 1 se toman en ella los puntos F, A y E Paso 2 y se traza un diámetro AB [Prop. II.44]Paso 3 y a él una perpendicular BE que prolongaremos hasta F Paso 4. Es claro que si EB=BF la recta AB es el eje [Def. I.7], pero si no lo es, bisecamos EF por el punto D Paso 5 y trazamos CD paralela a AB Paso 6. Es evidente entonces que CD es el eje porque siendo paralela a un diámetro, es también un diámetro y biseca perpendicularmente a EF.

Esta recta es el único eje de la parábola porque si hubiese otro eje AB, sería paralelo a CD [Cor. Prop. I.51]. Y biseca a EF [Def. I.4]. Así BE=BF, lo cual es absurdo.

Q. E. F.