La recta que une el punto de intersección de dos tangentes a las secciones opuestas con el punto medio de la recta de los contactos es un diámetro llamado recto, y el transverso, que es su conjugado, será la paralela trazada por el centro a la recta de unión de los puntos de contacto.
Sean A y B las hipérbolas opuestas y CJ y JD tangentes a las hipérbolas , y tracemos la recta de unión CD , bisecada en el punto E , y tracemos la recta de unión EJ .
Digo que EJ es lo se llama un diámetro recto, y que la recta que pasa por el centro paralela a CD es un diámetro transverso conjugado al primer diámetro.
Supongamos que EF es un diámetro , y tomemos un punto cualquiera F, así DJ cortará a EF en F, así CF cortará a la hipérbola [Prop. I.32] .
Sea A el punto de corte, y tracemos por A una paralela AB a CD . Ya que EF es un diámetro, y biseca CD, también biseca a las paralelas a CD [Def. I.4]. Así AG=GB. Ya que CE=ED, y está en el triángulo CED entonces AG=GK. Y por tanto GK=GB, y esto es imposible. Así EF será un diámetro.
Q. E. D.