Trazar una tangente a una sección cónica dada por un punto dado no situado en su interior.

Supongamos que la sección cónica sea una parábola cuyo eje es BD Paso 1. Entonces se requiere trazar una recta como ha sido descrita desde un punto dado no situado en el interior de la sección. Entonces el punto dado o está situado sobre la sección, o sobre el eje o en el exterior de la sección.

Sea A un punto dado de la parábola y supongamos el problema resuelto y sea AE una tangente, y tracemos una perpendicular AD, entonces esta perpendicular está posicionada.

Y BE=BD [Prop. I.35], y BD está dada, así BE está también dada. Y B está dado, así E también está dado. Pero también A está dado, así AE está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Trazamos desde A la perpendicular AD Paso 2, y tomemos BE=BD Paso 3, y tracemos la recta de unión AE Paso 4. Entonces es evidente que AE es tangente a la sección [Prop. I.33].

Por otra parte, también es evidente que si el punto dado coincide con el punto B, la perpendicular trazada desde B es tangente a la sección [Prop. I.17]Paso 5.

Ahora sea E un punto dado sobre el eje, y supongamos el problema resuelto, y sea AE una tangente, y tracemos una perpendicular AD, así BE=BD [Prop. I.35]. Y BE está dada, así también BD está dada. Y B está dado, así D también está dado. Y DA es perpendicular, así DA está posicionada. Así A está dado. Pero también E está dado, asi AE está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Hagamos BD=BE Paso 6, y desde D tracemos la perpendicular DA a ED Paso 7 y tracemos la recta de unión AE Paso 8.

Entonces es evidente que AE es tangente [Prop. I.33].

Ahora sea C el punto dado. Supongamos el problema resuelto, sea CA una tangente, y tracemos desde C una paralela CF al eje, esto es a BD, así CF está posicionada. Y desde A tracemos AF como ordenada a CF, entonces CG=FG [Prop. I.35]. Y G está dado, así F también está dado. Y FA ha sido trazada como ordenada, que es paralela a la tangente en G [Prop. I.32], así FA está posicionada. Entonces A también está dado en posición, pero también C está dado en posición. Así CA está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Tracemos desde C una paralela CF a BD Paso 9, y hacemos FG=CG Paso 10, y tracemos una paralela FA a la tangente en G Paso 11, y tracemos la recta de unión AC Paso 12. Es evidente que esta recta resuelve el problema [Prop. I.33].

Supongamos que la sección cónica sea una hipérbola de eje DBC y centro H, y asíntotas HE y HF. Entonces el punto dado puede estar sobre la sección, o sobre el eje, o en el interior del ángulo EHF, o en el lugar adyacente o sobre una de las asíntotas o en el lugar situado entre las rectas comprendiendo el ángulo opuesto por el vértice al ángulo EHF.

Supongamos que el punto dado A está sobre la sección y supongamos el problema resuelto, y sea AG tangente, y tracemos la perpendicular AD, y sea BC el lado transverso, entonces \(\rm \dfrac{CD}{DB}=\dfrac{CG}{GB}\) [Prop. I.36]. Y \(\rm\dfrac{CD}{DB}\) está dada, pues ambas rectas están dadas, así también \(\rm \dfrac{CG}{GB}\) está dada. Y BC está dada, así G está dado. Pero A también está dado, así CA está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Tracemos desde A la perpendicular AD Paso 13, y sea \(\rm\dfrac{CG}{GB}=\dfrac{CD}{DB}\) Paso 14, y tracemos la recta de unión AG Paso 15, entonces es evidente que AG es tangente a la sección [Prop. I.34].

Supongamos que el punto dado G está sobre el eje, y supongamos el problema resuelto, y tracemos una tangente AG y una perpendicular AD. Entonces por las mismas razones \(\rm \dfrac{CD}{DB}=\dfrac{CG}{GB}\) [Prop. I.36]. BC está dada, así D también está dado. Y DA es perpendicular, así DA está posicionada. Y también la sección está posicionada, así A está dado. Pero G también está dado, así AG está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: En las mismas condiciones, tomemos \(\rm \dfrac{CG}{GB}=\dfrac{CD}{DB}\) Paso 16, y tracemos la perpendicular DA Paso 17, y la recta de unión AG Paso 18. Entonces es evidente que AG resuelve el problema [Prop. I.34], y que desde G se puede trazar otra tangente al otro lado de la sección.

Con las mismas hipótesis, supongamos que el punto dado K está en el interior del ángulo EHF, y queremos trazar desde K una tangente a la sección. Supongamos el problema resuelto, y sea KA dicha tangente, y tracemos la recta de unión KH, y prolonguémosla, y tomemos HN=LH, así ellas están dadas. Entonces también LN está dada. Entonces tracemos AM como ordenada a MN, entonces \(\rm\dfrac{NK}{KL}=\dfrac{MN}{ML}\).

Y \(\rm\dfrac{NK}{KL}\) está dada, así \(\rm\dfrac{MN}{ML}\) está dada. Y L está dado, así también M está dado. Y MA ha sido trazada como paralela a la tangente en L, así MA está posicionada.

Por otro lado también la sección ALB está posicionada, así A está dado. Pero K también está dado, así AK está dada.

La construcción será, pues, la siguiente: En las mismas condiciones, supongamos que K es el punto dado Paso 19, y tracemos la recta de unión KH y prolonguémosla Paso 20, y tomemos HN=HL Paso 21, de manera que \(\rm\dfrac{NK}{KL}=\dfrac{NM}{ML}\) Paso 22, y tracemos la paralela MA a la tangente en L Paso 23, y tracemos la recta de unión KA Paso 24, así [Prop. I.34] KA es tangente a la sección. Y es evidente que podemos trazar una tangente a la sección al otro lado.

Con las mismas hipótesis, supongamos que el punto dado F está sobre una de las asíntotas a la sección, y queremos trazar desde F una tangente a la sección. Supongamos el problema resuelto y sea FAE dicha tangente, y desde A tracemos una paralela AD a EH, entonces DH=DF, ya que [Prop. I.3] FA=AE. Por otra parte, FH está dada, así también D está dado. Y desde D ha sido trazada una paralela posicionada DA a EH, así DA está posicionada. Y la sección también está posicionada, así A está dado. Pero también F está dado, así FAE está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Supongamos que la sección es AB Paso 25, que las asíntotas son EH y HF Paso 26, y que el punto dado F está sobre una de las asíntotas comprendiendo a la sección, y bisequemos FH en D Paso 27, y tracemos desde D la paralela DA a HE Paso 28, y tracemos la recta de unión FA Paso 29. Ya que FD=DH, así FA=AE. Y con razonamiento semejante [Prop. II.9] FAE es tangente a la sección.

Con las mismas hipótesis, supongamos que el punto dado K está en el interior de un ángulo adyacente al formado por las asíntotas comprendiendo a la sección Paso 30, y queremos trazar desde K una tangente a la sección. Supongamos el problema resuelto, y sea KA dicha tangente, y tracemos la recta de unión KH y prolonguémosla Paso 31, entonces estará posicionada. Si tomamos un punto C sobre la sección, y trazamos desde C una paralela CD a KH Paso 32, entonces estará posicionada. Y si CD es bisecada en E y trazamos la recta de unión EH Paso 33 y la prolongamos, y HG=BH Paso 34, así GB es un diámetro transverso conjugado a KHL [Def. I.6]Paso 35, entonces tomemos KH∙HL=(1/4)rectum∙BG, y trazamos desde L la paralela LA a BG Paso 36 y la recta de unión KA Paso 37, entonces es claro que KA es tangente a la sección [Prop. I.38].

Y si el punto está dado entre las rectas FH y HR, el problema es imposible pues la tangente cortará a GH. Y por tanto también cortará a FH y HR, y esto es imposible [Prop. I.31 y Prop. II.3].

Con las mismas hipótesis supongamos que la sección cónica sea una elipse y el punto dado A sobre la sección, y requerimos trazar desde A una tangente a la sección. Supongamos el problema resuelto, y sea AG dicha tangente, y tracemos desde A la recta AD como ordenada al eje BC, entonces D está dado, y [Prop. I.36] \(\rm\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{CG}{GB}\).

Y \(\rm\dfrac{CD}{DB}\)está dado, así \(\rm\dfrac{CG}{GB}\) también dado. Así G está dado. Pero también A está dado, así AG está posicionada.

La construcción será, pues, la siguiente: Tracemos la perpendicular AD Paso 38, y sea \(\rm\dfrac{CG}{GB}=\dfrac{CD}{DB}\) Paso 39, y tracemos la recta de unión AG Paso 40.

Entonces es evidente que AG es tangente, como en el caso de la hipérbola [Prop. I.34].

Sea ahora un punto dado K Paso 41, y se requiere trazar desde K una tangente. Supongamos el problema resuelto, y sea KA dicha tangente, y tracemos la recta de unión KLH que pasa por el centro H , y prolonguémosla hasta N Paso 42, entonces está posicionada. Tracemos AM como ordenada Paso 43, entonces [Prop. I.36] \(\rm\dfrac{NK}{KL}=\dfrac{NM}{ML}\), y \(\rm\dfrac{NK}{KL}\) está dada, así también \(\rm\dfrac{NM}{ML}\) está dada. Así M está dado. Por otra parte, una recta MA ha sido trazada como ordenada pues es paralela a la tangente en L, así MA está posicionada. Así A es dado. Pero también K está dado. Así KA está posicionada Paso 44.

La construcción es idéntica a la anterior.

Q. E. F.