Si la prolongación de una recta que encuentra a una de las secciones opuestas cae fuera de esta, no cortará a la otra sección, pero atravesará tres regiones, una de las cuales es la del ángulo que abraza a la sección y las otras dos son las de los adyacentes.
Sean A y B las hipérbolas opuestas y tracemos una recta CD que corta a A, cuya prolongación en ambos sentidos, cae fuera de la sección .
Digo que no corta a la hipérbola B.
Tracemos asíntotas EF y GH a las hipérbolas , así la prolongación de CD cortará a las asíntotas [Prop. II.8]. Y solo las cortará en E y H.
Y por tanto no cortará a la hipérbola B.
Por otra parte es evidente que pasará por los tres lugares. Si una cierta recta corta a cada una de las hipérbolas opuestas, no cortará a ninguna de ellas en dos puntos.
En efecto, si cortase a una de las hipérbolas en dos puntos, no cortaría a la otra hipérbola, en virtud de lo que se ha demostrado anteriormente.
Q. E. D.