Prolongando indefinidamente las asíntotas y la hipérbola llega a haber entre ellas un intervalo menor que todo intervalo dado.
Sea una hipérbola de asíntotas AB y AG , y una distancia K .
Digo que prolongando AB, AG y la sección llega a haber entre ellas un intervalo menor que K.
Tracemos paralelas EQZ y GHD a la tangente, y tracemos la recta de unión AQ y prolonguémosla hasta el punto C . Ya que GH∙HD= ZQ∙QE [Prop. II.10],
así \(\rm \dfrac{DH}{ZQ}=\dfrac{QE}{GH}\).
Pero DH>ZQ [Euclides:Prop. VI.4], así EQ>GH.
Análogamente podemos demostrar que los intervalos siguientes también son más pequeños. Tomemos un intervalo EL<K y desde L tracemos una paralela LN a AG , así
cortará a la sección en el punto N [Prop. II.13]. Desde N tracemos una paralela MNB a EZ , así MN=EL, y MN<K.
Q. E. D.
De esto se desprende que las rectas AB, AG son las más cercanas de todas las que no se encuentran con la sección, y que el ángulo determinado por las rectas AB, AG es ciertamente menor que el determinado por las otras rectas que no se encuentran con la sección.