Si en las secciones opuestas conjugadas se traza desde el centro de una de ellas una recta y a esta una paralela que corte a una de las secciones adyacentes y a las asíntotas, el rectángulo de las partes de paralela comprendidas entre la sección y las asíntotas equivale al cuadrado de la recta trazada desde el centro.

Sean A, B, G y D las hipérbolas opuestas conjugadas Paso 1, y sean XEZ y XHQ las asíntotas de estas hipérbolas Paso 2, y desde el centro X tracemos una recta XGD hasta una cualquiera de las hipérbolas Paso 3 y tracemos una paralela QE a ella que corta a ambas hipérbolas adyacentes y a las asíntotas Paso 4.

Digo que EK∙KQ=QX².

Bisequemos KL en M Paso 5, y tracemos la recta de unión MX Paso 6y prolonguémosla, así AB es un diámetro de las hipérbolas A y B [Cor. Prop. I.51]. Y ya que la tangente en A es paralela a EQ [Prop. II.5], así EQ ha sido trazada como una ordenada a AB. Y el centro es X, así AB y GD son diámetros conjugados [Def. I.6]. Así GX²=¼(rectum∙AB) [Prop. I.60]. Y QK∙KE=¼(rectum∙AB)[Prop. II.10], así EK∙KQ=QX².

Q. E. D.