Si por un punto de una hipérbola se trazan dos rectas cualesquiera a las asíntotas y por otro punto paralelas a estas rectas, el rectángulo de las paralelas es equivalente al de dichas rectas.

Sea una hipérbola Paso 1 de asíntotas AB y BG Paso 2, y tomemos un punto D en la sección Paso 3, y desde dicho tracemos rectas ED y DZ sobre las rectas AB y BG Paso 4, y tomemos otro punto H en la sección Paso 5, y por H tracemos paralelas HQ y HK a las rectas ED y DZ Paso 6.

Digo que ED∙DZ=QH∙HK.

Tracemos la recta de unión DH y prolonguémosla hasta los puntos A y G Paso 7. Ya que AD∙DG= AH∙HG [Prop. II.10], así \(\rm\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{DG}{HG}\).

Pero \(\rm\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{HQ}{ED}\), y \(\rm\dfrac{DG}{HG}=\dfrac{DZ}{HK}\), así \(\rm\dfrac{QH}{ED}=\dfrac{DZ}{HK}\).

Así ED∙DZ=QH∙HK.

Q. E. D.