Las tangentes a la hipérbola encuentran a la asíntota, quedan divididas en dos partes iguales por el punto de contacto y el cuadrado de cada una de sus partes equivale a un cuarto de la figura obtenida sobre el diámetro trazado por el punto de contacto.

Sea la hipérbola ABG Paso 1, de centro E Paso 2 y asíntotas ZE y EH Paso 3, sea QK una tangente en B Paso 4.

Digo la prolongación de QK corta a ZE y EH.

Supongamos que no las corte, tracemos la recta de unión EB y prolonguémosla, y tomemos ED=EB Paso 5, así BD es un diámetro. Entonces QB²=BK²=¼(rectum∙BD), tracemos las rectas de unión EQ y EK Paso 6. Así EQ y EK son asíntotas [Prop. II.1], y esto es imposible ya que ZE y EH son asíntotas [Prop. II.2]. Así la prolongación de KQ cortará a las asíntotas EZ y EH.

Digo que BZ²=BH²= ¼(rectum∙BD).

Supongamos que no, pero que BQ²=BK²= ¼(rectum∙BD). Entonces QE y EK son asíntotas [Prop. II.1], y esto es imposible [Prop. II.2] . Así BZ²=BH²= ¼(rectum∙BD).

Q. E. D.