Dadas las mismas cosas, digo que \(\rm \dfrac{AC^2}{BK\cdot FG} = \dfrac{CN}{\sqrt{MN\cdot OM}}\).

En efecto, \(\rm\dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{CN}{MO}\) y \(\rm\dfrac{BK}{FG} = \dfrac{MO}{OI}\) [Prop. VII.8], de donde \(\rm\dfrac{BK^2}{BK\cdot FG} = \dfrac{MO}{OI}\), luego \(\rm\dfrac{AC^2}{BK\cdot FG} = \dfrac{CN}{OI}\). Pero, por hipótesis, \(\rm OI^2 = NM\cdot MO\). Así \(\rm \dfrac{AC^2}{BK\cdot FG} = \dfrac{CN}{\sqrt{MN\cdot OM}}\).

Q. E. D.