El paralelogramo construido sobre dos diámetros conjugados cualesquiera de una elipse o de las ramas opuestas de dos hipérbolas conjugadas es equivalente al rectángulo construido sobre los ejes.

Sea H el centro de una elipse o de hipérbolas opuestas conjugadas Paso 1; sean AB, CD los ejes Paso 2, y FL, ON cualesquiera diámetros conjugados Paso 3. Por los puntos F, L, O, N, tracemos las tangentes GX, KM, GK, XM Paso 4. Las rectas GX, KM serán por lo tanto paralelas al diámetro ON, y las rectas GK, XM también serán paralelas al diámetro FL [Prop. II.6, Prop. II.20]. Además, GM será un paralelogramo con ángulos iguales a los ángulos formados en el centro H por los diámetros conjugados FL, ON. Digo que, por lo tanto, \(\rm ▭GM = AB\cdot CD\).

Tracemos desde el punto F la recta FQ perpendicular al eje AHB Paso 5, y asegurémonos \(\rm QP^2 = EQ\cdot QH\) Paso 6. Se tiene \(\rm \dfrac{AB}{lado recto_{AB}} = \dfrac{HQ\cdot QE}{FQ^2}\) [Prop. I.17], y ya que \(\rm AB\cdot lado recto_{AB} = CD^2\), entonces \(\rm \dfrac{AB}{lado recto_{AB}} = \dfrac{AB^2}{CD^2} = \dfrac{AH^2}{HC^2}\), luego \(\rm \dfrac{AH^2}{HC^2} = \dfrac{HQ\cdot QE}{FQ^2}\). Ya que \(\rm HQ\cdot QE = PQ^2\), entonces \(\rm \dfrac{AH^2}{HC^2} = \dfrac{PQ^2}{FQ^2}\), de manera que \(\rm \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{PQ}{FQ}\). Pero, \(\rm \dfrac{AH^2}{AH\cdot HC} = \dfrac{PQ\cdot HE}{QF\cdot HE}\), de donde \(\rm \dfrac{AH^2}{PQ\cdot HE} = \dfrac{AH\cdot HC}{FQ\cdot HQ}\). Pero, \(\rm HE\cdot HQ = AH^2\) [Prop. I.17], luego \(\rm \dfrac{EH\cdot HQ}{PQ\cdot HE} = \dfrac{AH\cdot HC}{FQ\cdot HE}\). Por otra parte, la recta HE es paralela a la recta FE: de manera que \(\rm \dfrac{FE^2}{HO^2} = \dfrac{EQ^2}{QH^2}\) [Prop. VII.4]. Además, \(\rm \dfrac{△HFE}{△HOS} = \dfrac{FE^2}{HO^2}\) por la semejanza de estos triángulos, luego \(\rm \dfrac{△HFE}{△HOS} = \dfrac{EQ}{QH}\), de donde \(\rm \dfrac{2 △HFE}{2 △HOS} = \dfrac{EQ}{QH}\). Ya que, \(\rm \dfrac{△HFE}{△HFG} = \dfrac{EF}{FG}\), entonces \(\rm \dfrac{2 △HFE}{2 △HFG} = \dfrac{2 △HFE}{▱HFGGO} = \dfrac{EF}{FG} = \dfrac{EH}{HS}\), mientras que \(\rm \dfrac{△HOG}{△HOS} = \dfrac{GO}{OS}\), de donde \(\rm \dfrac{2 △HOG}{2 △HOS} = \dfrac{▱HFGO}{2 △HOS} = \dfrac{HO}{OS} = \dfrac{EH}{HS}\), luego \(\rm \dfrac{2 △HFE}{▱HFGO} = \dfrac{▱HFGO}{2 △HOS}\). Ya que \(\rm \dfrac{EQ}{PQ} = \dfrac{PQ}{QH}\), entonces \(\rm \dfrac{△HFE}{▱HFGO} = \dfrac{PQ}{QH}\). Ya que \(\rm \dfrac{PQ}{QH} = \dfrac{PQ\cdot HE}{QH\cdot HE}\), entonces \(\rm \dfrac{PQ}{QH} = \dfrac{FQ\cdot HE}{AH\cdot HC}\), de donde \(\rm \dfrac{2 △HFE}{▱HFGO} = \dfrac{FQ\cdot HE}{AH\cdot HC}\). Ya que \(\rm 2 △HFE = FQ\cdot HE\), luego \(\rm ▱HFGO = AH\cdot HC\), de donde \(\rm 4 ▱HFGO = 4 AH\cdot HC\). Por tanto \(\rm ▱GKMX = AB\cdot CD\).

Q. E. D.