Proposición 31

El paralelogramo construido sobre dos diámetros conjugados cualesquiera de una elipse o de las ramas opuestas de dos hipérbolas conjugadas es equivalente al rectángulo construido sobre los ejes.

Sea H el centro de una elipse o de hipérbolas opuestas conjugadas ; sean AB, CD los ejes , y FL, ON cualesquiera diámetros conjugados . Por los puntos F, L, O, N, tracemos las tangentes GX, KM, GK, XM . Las rectas GX, KM serán por lo tanto paralelas al diámetro ON, y las rectas GK, XM también serán paralelas al diámetro FL [Prop. II.6, Prop. II.20]. Además, GM será un paralelogramo con ángulos iguales a los ángulos formados en el centro H por los diámetros conjugados FL, ON. Digo que, por lo tanto, $▭ G M = A B \cdot C D$ .

Tracemos desde el punto F la recta FQ perpendicular al eje AHB , y asegurémonos $Q P^{2} = E Q \cdot Q H$ . Se tiene $\frac{A B}{l a d o r e c t o_{A B}} = \frac{H Q \cdot Q E}{F Q^{2}}$ [Prop. I.17], y ya que $A B \cdot l a d o r e c t o_{A B} = C D^{2}$ , entonces $\frac{A B}{l a d o r e c t o_{A B}} = \frac{A B^{2}}{C D^{2}} = \frac{A H^{2}}{H C^{2}}$ , luego $\frac{A H^{2}}{H C^{2}} = \frac{H Q \cdot Q E}{F Q^{2}}$ . Ya que $H Q \cdot Q E = P Q^{2}$ , entonces $\frac{A H^{2}}{H C^{2}} = \frac{P Q^{2}}{F Q^{2}}$ , de manera que $\frac{A H}{H C} = \frac{P Q}{F Q}$ . Pero, $\frac{A H^{2}}{A H \cdot H C} = \frac{P Q \cdot H E}{Q F \cdot H E}$ , de donde $\frac{A H^{2}}{P Q \cdot H E} = \frac{A H \cdot H C}{F Q \cdot H Q}$ . Pero, $H E \cdot H Q = A H^{2}$ [Prop. I.17], luego $\frac{E H \cdot H Q}{P Q \cdot H E} = \frac{A H \cdot H C}{F Q \cdot H E}$ . Por otra parte, la recta HE es paralela a la recta FE: de manera que $\frac{F E^{2}}{H O^{2}} = \frac{E Q^{2}}{Q H^{2}}$ [Prop. VII.4]. Además, $\frac{△ H F E}{△ H O S} = \frac{F E^{2}}{H O^{2}}$ por la semejanza de estos triángulos, luego $\frac{△ H F E}{△ H O S} = \frac{E Q}{Q H}$ , de donde $\frac{2 △ H F E}{2 △ H O S} = \frac{E Q}{Q H}$ . Ya que, $\frac{△ H F E}{△ H F G} = \frac{E F}{F G}$ , entonces $\frac{2 △ H F E}{2 △ H F G} = \frac{2 △ H F E}{▱ H F G G O} = \frac{E F}{F G} = \frac{E H}{H S}$ , mientras que $\frac{△ H O G}{△ H O S} = \frac{G O}{O S}$ , de donde $\frac{2 △ H O G}{2 △ H O S} = \frac{▱ H F G O}{2 △ H O S} = \frac{H O}{O S} = \frac{E H}{H S}$ , luego $\frac{2 △ H F E}{▱ H F G O} = \frac{▱ H F G O}{2 △ H O S}$ . Ya que $\frac{E Q}{P Q} = \frac{P Q}{Q H}$ , entonces $\frac{△ H F E}{▱ H F G O} = \frac{P Q}{Q H}$ . Ya que $\frac{P Q}{Q H} = \frac{P Q \cdot H E}{Q H \cdot H E}$ , entonces $\frac{P Q}{Q H} = \frac{F Q \cdot H E}{A H \cdot H C}$ , de donde $\frac{2 △ H F E}{▱ H F G O} = \frac{F Q \cdot H E}{A H \cdot H C}$ . Ya que $2 △ H F E = F Q \cdot H E$ , luego $▱ H F G O = A H \cdot H C$ , de donde $4 ▱ H F G O = 4 A H \cdot H C$ . Por tanto $▱ G K M X = A B \cdot C D$ .

Q. E. D.