Conservando la figura de la elipse usada en la séptima proposición de este libro, digo que \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2-FG^2} = \dfrac{CN}{2MH}\).

En efecto, \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{CN}{MO}\) [Prop. VII.8] y \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{MO}{MN}\) [Prop. VII.7], de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{BK^2-FG^2} = \dfrac{MO}{MO-MN}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2-FG^2} = \dfrac{CN}{MO-MN}\). Pero, por hipótesis, \(\rm CN = NA\), luego \(\rm HO = HN\). Por tanto \(\rm MO-MN = MH+HO-HN+MH = 2MH\). Así \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2-FG^2} = \dfrac{CN}{2MH}\).

Q. E. D.