En toda elipse o hipérbola de ejes desiguales la diferencia de ellos es mayor que la de un diámetro y su conjugado, y esta diferencia crece a medida que los diámetros se acercan a los ejes.

La proposición es evidente en el caso de la elipse, en virtud de lo que se ha demostrado en [Prop. VII.24], mientras que la demostraremos como sigue en el caso de la hipérbola. Sea AC el eje transverso y QR el eje conjugado de una hipérbola Paso 1 en la que tenemos los diámetros conjugados KB, FG y ST, IP Paso 2. Digo que $\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{Q}\mathrm{R}>\mathrm{K}\mathrm{B}-\mathrm{F}\mathrm{G}>\mathrm{S}\mathrm{T}-\mathrm{I}\mathrm{P}$.

En efecto, ya que $\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2-\mathrm{Q}{\mathrm{R}}^2=\mathrm{K}{\mathrm{B}}^2-\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2$[Prop. VII.13], entonces $(\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{Q}\mathrm{R})(\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{Q}\mathrm{R})=(\mathrm{K}\mathrm{B}-\mathrm{F}\mathrm{G})(\mathrm{K}\mathrm{B}-\mathrm{F}\mathrm{G})$. Como $\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{Q}\mathrm{R}<\mathrm{K}\mathrm{B}+\mathrm{F}\mathrm{G}$ [Prop. VII.25] , luego $\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{Q}\mathrm{R}>\mathrm{K}\mathrm{B}-\mathrm{F}\mathrm{G}$. Análogamente $\mathrm{K}\mathrm{B}-\mathrm{F}\mathrm{G}>\mathrm{S}\mathrm{T}-\mathrm{I}\mathrm{P}$.

Q. E. D.