En
toda elipse o hipérbola de ejes desiguales la diferencia de
ellos es mayor que la de un diámetro y su conjugado, y esta diferencia
crece a medida que los diámetros se acercan a los ejes.
La proposición es evidente en el caso de la elipse, en virtud de lo que se ha demostrado en [Prop. VII.24], mientras que la demostraremos como sigue en el caso de la hipérbola.
Sea AC el eje transverso y QR el eje conjugado de una hipérbola en la que tenemos los diámetros conjugados KB, FG y ST, IP .
Digo que \(\rm AC - QR > KB-FG > ST-IP\).
En efecto, ya que \(\rm AC^2-QR^2 = KB^2-FG^2\)[Prop. VII.13], entonces \(\rm (AC+QR)(AC-QR) = (KB-FG)(KB-FG)\). Como \(\rm AC+QR < KB+FG\) [Prop. VII.25] ,
luego \(\rm AC-QR > KB-FG\).
Análogamente \(\rm KB-FG > ST-IP\).
Q. E. D.