Prolongando uno u otro eje de una elipse de modo que la suma o diferencia del eje y su prolongación sea a esta como el mismo eje a su parámetro, y trazando desde el vértice en que termina la parte correspondiente al parámetro una recta a un punto cualquiera de la cónica desde el cual se baja la perpendicular al eje, el cuadrado de esa recta será al rectángulo cuyos lados sean los segmentos comprendidos entre la perpendicular y los extremos de la recta correspondiente al lado recto, como el eje a la parte correspondiente del propio eje. Llamaremos recta homóloga a la correspondiente al lado recto.

Sea una elipse de eje AC Paso 1, y cuya figura característica es el rectángulo CD Paso 2. Sea H un punto de la prolongación del eje tal que \(\rm \dfrac{CH}{AH} = \dfrac{CA}{AD}\) Paso 3. Después de trazar una recta cualquiera AB Paso 4, tracemos la recta BE perpendicular al eje Paso 5. Digo que \(\rm \dfrac{AB^2}{AE\cdot EH} = \dfrac{AC}{CH}\).

Hagamos \(\rm AE\cdot EF = BE^2\) Paso 6, de donde \(\rm \dfrac{AE\cdot EF}{AE\cdot EC} = \dfrac{BE^2}{AE\cdot EC}\). Ya que \(\rm \dfrac{BE^2}{AE\cdot EC} = \dfrac{AD}{AC}\) [Prop. I.21], entonces \(\rm \dfrac{EF}{EC} = \dfrac{AE\cdot EF}{AE\cdot EC} = \dfrac{AD}{AC}\). Como, por hipótesis, \(\rm \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{AD}{AC}\), entonces \(\rm \dfrac{FC}{EC} = \dfrac{EF\pm EC}{EC} = \dfrac{AH\pm HC}{HC} = \dfrac{AC}{HC}\), luego \(\rm \dfrac{FA}{HE} = \dfrac{FC\pm AC}{EC\pm HC} = \dfrac{AC}{HC}\), por tanto \(\rm \dfrac{FA\cdot AE}{HE\cdot AE} = \dfrac{AC}{HC}\). Ya que \(\rm FA\cdot AE = (AE+EF)AE = AE^2+ AE\cdot EF = AE^2+BE^2 = AB^2\), entonces \(\rm \dfrac{AB^2}{HE\cdot AE} = \dfrac{AC}{HC}\).

Q. E. D.