La
suma de los dos ejes de la elipse es menor que la de dos
diámetros conjugados cualesquiera; la de un par de estos es menor que
la de otro par si los primeros están más cerca de los ejes que los segundos,
y si los diámetros conjugados son iguales, la suma es máxima.
Sea AB el eje mayor de una elipse, y CD el eje menor . Sean FE, KG y NO, PQ y TS, XR diámetros conjugados, y que \(\rm EF < KG < NO < PQ\), y \(\rm XR = TS\) .
Digo que \(\rm AB+CD < FE+KG < NO+PQ < XR+TS\).
En efecto, \(\rm \dfrac{AB}{CD} > \dfrac{EF}{KG}\) [Prop. VII.24], luego, por una parte, \(\rm \dfrac{AB}{AB+CD} > \dfrac{EF}{EF+KG}\), de donde,
\(\rm \dfrac{AB^2}{(AB+CD)^2} > \dfrac{EF^2}{(EF+KG)^2}\), y, por otra parte, \(\rm \dfrac{AB^2}{CD^2} > \dfrac{EF^2}{KG^2}\), de donde,
\(\rm \dfrac{AB^2}{AB^2+CD^2} > \dfrac{EF^2}{EF^2+KG^2}\), luego \(\rm \dfrac{AB^2+CD^2}{(AB+CD)^2} > \dfrac{EF^2+KG^2}{(EF+KG)^2}\).
Como, \(\rm AB^2+CD^2 = EF^2+KG^2\) [Prop. VII.12], entonces \(\rm (AB+CD)^2 < (EF+KG)^2\). Por tanto \(\rm AB+CD< EF+KG\). Análogamente, se tiene que
\(\rm EF+KG < NO+pQ < XR+TS\).
Q. E. D.