En toda elipse la suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados calesquiera es igual a la suma de los cuadrados de los ejes.

Dada la elipse de ejes AC y QR Paso 1, sean BK y FG dos diámetros conjugados Paso 2 y AN, CO las dos rectas homólogas Paso 3. Entonces, \(\rm QR^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.15], luego \(\rm \dfrac{AC^2}{QR^2} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) y \(\rm \dfrac{NC}{AN} = \dfrac{AO}{CO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) [Prop. VII.7], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{QR^2} = \dfrac{NC}{AN} = \dfrac{NC}{CO}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2+QR^2} = \dfrac{NC}{NC+CO} = \dfrac{NC}{NO}\). Por otro lado, \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{MO}{MN}\) [Prop. VII.7] Paso 4, de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{BK^2+FG^2} = \dfrac{MO}{MO+MN} = \dfrac{MO}{NO}\), luego, ya que \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{NC}{MO}\) [Prop. VII.8], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2+FG^2} = \dfrac{NC}{NO}\). Por tanto, \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2+QR^2} = \dfrac{AC^2}{BK^2+FG^2}\), de donde \(\rm AC^2+QR^2 = BK^2+FG^2\).

Q. E. D.