Proposición 12

En toda elipse la suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados calesquiera es igual a la suma de los cuadrados de los ejes.

Dada la elipse de ejes AC y QR , sean BK y FG dos diámetros conjugados y AN, CO las dos rectas homólogas . Entonces, $Q R^{2} = A C \cdot l a d o r e c t o_{A C}$ [Prop. I.15], luego $\frac{A C^{2}}{Q R^{2}} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ y $\frac{N C}{A N} = \frac{A O}{C O} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ [Prop. VII.7], entonces $\frac{A C^{2}}{Q R^{2}} = \frac{N C}{A N} = \frac{N C}{C O}$ , de donde $\frac{A C^{2}}{A C^{2} + Q R^{2}} = \frac{N C}{N C + C O} = \frac{N C}{N O}$ . Por otro lado, $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{M O}{M N}$ [Prop. VII.7] , de donde $\frac{B K^{2}}{B K^{2} + F G^{2}} = \frac{M O}{M O + M N} = \frac{M O}{N O}$ , luego, ya que $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{N C}{M O}$ [Prop. VII.8], entonces $\frac{A C^{2}}{B K^{2} + F G^{2}} = \frac{N C}{N O}$ . Por tanto, $\frac{A C^{2}}{A C^{2} + Q R^{2}} = \frac{A C^{2}}{B K^{2} + F G^{2}}$ , de donde $A C^{2} + Q R^{2} = B K^{2} + F G^{2}$ .

Q. E. D.