Proposición 22

Si el eje transverso de una hipérbo1a es menor que e1 otro, todo diámetro transverso será menor que su conjugado; la razón de los ejes menor que la de los diámetros y la de un par de diámetros conjugados menor que la de otro par si el transverso del primer par está más cerca que el otro del eje transverso de la hipérbola.

Sean AC, PI los ejes de la hipérbola con el eje AC menor que el eje IP , y H el centro . Sean BK, FG dos diámetros cualquiera . Digo que los diámetros BK, FG son menores que los correspondientes diámetros rectos conjugados; que la razón del eje AC con el eje IP es menor que la razón del diámetro BK con su conjugado, y que la razón del diámetro BK con su conjugado es menor que la relación del diámetro FG con su conjugado.

Hagamos $\frac{C N}{N A} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , y $\frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ ; las rectas OC, AN serán por lo tanto lo que llamamos homólogas. Tracemos la recta AD paralela a la tangente a la sección en el punto B , y la recta AL paralela a la tangente en el punto F , y desde los puntos D, L, tracemos las rectas DE LM perpendiculares al eje .

Ya que $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , entonces $\frac{C N}{A C} = \frac{C N}{C N + N A} = \frac{A O}{A O + O C} = \frac{A O}{A C}$ , de donde $C N = A O$ , luego $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{N A}$ . Por lo tanto, $\frac{B K^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2}} = \frac{O E}{E N}$ y $\frac{F G^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{F G}^{2}} = \frac{O M}{M N}$ ; de modo que, como $O E < E N$ y $O M < M N$ se tiene que $B K < d i á m . c o n j u g a d o_{B K}$ y $F G < d i á m . c o n j u g a d o_{F G}$ . Como $O E = O A + E A$ y $E N = A N + E A$ , entonces $\frac{O E}{E N} > \frac{C N}{N A}$ , luego $\frac{B C^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B C}^{2}} > \frac{C N}{N A}$ . Ya que los ejes AC e IP son conjugados [Prop. I.16] se tiene que $I P^{2} = A C \cdot l a d o r e c t o_{A C}$ , de donde $\frac{A C^{2}}{I P^{2}} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{I P^{2}} = \frac{C N}{N A}$ , por tanto $\frac{A C^{2}}{I P^{2}} < \frac{B K^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2}}$ . Así $\frac{A C}{I P} < \frac{B K}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}}$ . Análogamente se tiene $\frac{A C}{I P} < \frac{F G}{d i á m . c o n j u g a d o_{F G}}$

Por otro lado, $O E = O M - M E$ y $E N = M N - M E$ , de donde $\frac{O E}{E N} < \frac{O M}{M N}$ , de donde $\frac{B K^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2}} < \frac{F G^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{F G}^{2}}$ , luego $\frac{B K}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}} < \frac{F G}{d i á m . c o n j u g a d o_{F G}}$ .

Q. E. D.