Haciendo las mismas construcciones que en las dos proposiciones anteriores, digo que \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK+FG)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM+\sqrt{MN\cdot OM})^2}\).

Tomemos una recta OI tal que \(\rm \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{MN}{OI}\). Ya que \(\rm AC = 2AH\) y \(\rm BK = 2HB\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{AH^2}{HB^2}\), mientras que \(\rm AH^2 = DH\cdot HE\) [Prop. I.37]; por lo tanto, \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{DH\cdot HE}{HB^2}\). Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{DH}{HB} = \dfrac{AC}{CL}\) y \(\rm \dfrac{HE}{HB} = \dfrac{CM}{CL}\), de donde \(\rm \dfrac{DH\cdot HE}{HB^2} = \dfrac{AC\cdot CM}{CL^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{AC\cdot CM}{CL^2}\). Se tiene \(\rm \dfrac{CA}{CN} = \dfrac{CA\cdot CM}{CN\cdot CM}\) y las proposiciones [Prop. VII.2] y [Prop. VII.3] dan respectivamente en los casos de la hipérbola y la elipse, \(\rm \dfrac{CL^2}{OM\cdot CM} = \dfrac{CA}{AO}\), de donde, ya que \(\rm CN = AO\), \(\rm \dfrac{CA\cdot CM}{CN\cdot CM} = \dfrac{CL^2}{OM\cdot CM}\). Por tanto \(\rm \dfrac{CA\cdot CM}{CL^2} = \dfrac{CN\cdot CM}{OM\cdot CM}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{BK^2} = \dfrac{CN\cdot CM}{OM\cdot CM} = \dfrac{CN}{OM} = \dfrac{CN\cdot OM}{OM^2}\). Las proposiciones [Prop. VII.6] y [Prop. VII.7] dan respectivamente en los casos de la hipérbola y la elipse, \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{OM}{MN}\), por lo tanto \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{OM^2}{OM\cdot MN}\), por lo tanto observando que \(\rm OI^2 = OM\cdot MN\) por hipótesis, entonces \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{OM^2}{OI^2}\), de donde \(\rm \dfrac{BK}{FG} = \dfrac{OM}{OI}\). Por tanto \(\rm \dfrac{BK}{BK+FG} = \dfrac{OM}{OM+OI} = \dfrac{OM}{MI}\), de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{(BK+FG)^2} = \dfrac{OM^2}{MI^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK+FG)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{MI^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM+OI)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM+\sqrt{MN\cdot OM})^2}\).

Q. E. D.