Proposición 8

Haciendo las mismas construcciones que en las dos proposiciones anteriores, digo que $\frac{A C^{2}}{(B K + F G)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M + \sqrt{M N \cdot O M})^{2}}$ .

Tomemos una recta OI tal que $\frac{O I}{O M} = \frac{M N}{O I}$ . Ya que $A C = 2 A H$ y $B K = 2 H B$ , entonces $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{A H^{2}}{H B^{2}}$ , mientras que $A H^{2} = D H \cdot H E$ [Prop. I.37]; por lo tanto, $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{D H \cdot H E}{H B^{2}}$ . Ya que, por semejanza de triángulos, $\frac{D H}{H B} = \frac{A C}{C L}$ y $\frac{H E}{H B} = \frac{C M}{C L}$ , de donde $\frac{D H \cdot H E}{H B^{2}} = \frac{A C \cdot C M}{C L^{2}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{A C \cdot C M}{C L^{2}}$ . Se tiene $\frac{C A}{C N} = \frac{C A \cdot C M}{C N \cdot C M}$ y las proposiciones [Prop. VII.2] y [Prop. VII.3] dan respectivamente en los casos de la hipérbola y la elipse, $\frac{C L^{2}}{O M \cdot C M} = \frac{C A}{A O}$ , de donde, ya que $C N = A O$ , $\frac{C A \cdot C M}{C N \cdot C M} = \frac{C L^{2}}{O M \cdot C M}$ . Por tanto $\frac{C A \cdot C M}{C L^{2}} = \frac{C N \cdot C M}{O M \cdot C M}$ , luego $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{C N \cdot C M}{O M \cdot C M} = \frac{C N}{O M} = \frac{C N \cdot O M}{O M^{2}}$ . Las proposiciones [Prop. VII.6] y [Prop. VII.7] dan respectivamente en los casos de la hipérbola y la elipse, $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{O M}{M N}$ , por lo tanto $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{O M^{2}}{O M \cdot M N}$ , por lo tanto observando que $O I^{2} = O M \cdot M N$ por hipótesis, entonces $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{O M^{2}}{O I^{2}}$ , de donde $\frac{B K}{F G} = \frac{O M}{O I}$ . Por tanto $\frac{B K}{B K + F G} = \frac{O M}{O M + O I} = \frac{O M}{M I}$ , de donde $\frac{B K^{2}}{(B K + F G)^{2}} = \frac{O M^{2}}{M I^{2}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{(B K + F G)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{M I^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M + O I)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M + \sqrt{M N \cdot O M})^{2}}$ .

Q. E. D.