Si
el eje transverso de una hipérbola es menor que
su lado recto, pero no menor que su tercera parte, la suma de un diámetro cualquiera y su lado recto
es mayor que la del eje y el suyo, y crece a medida que el diámetro se aleja del eje.
Si \(\rm \frac{1}{3}lado recto_{AC} \leq AC < lado recto_{AC}\) , tomemos
\(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} =\dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) .
Tracemos, por el punto C, las rectas CD, LC respectivamente paralelas
a los diámetros TS, KB , y tracemos, desde los puntos D, L, las rectas DE,
LM perpendiculares al eje .
Ya que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} =\dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), entonces
\(\rm \dfrac{CN}{AC} = \dfrac{CN}{CN+NA} = \dfrac{AO}{AO+OC} = \dfrac{AO}{AC}\), de donde
\(\rm CN = AO\) y \(\rm NA = OC\). Ya que, por hipótesis, \(\rm \frac{1}{3}lado recto_{AC} \leq AC\),
tenemos que \(\rm CN = AO \geq \frac{1}{3}NA\), de donde \(\rm AO\geq AO+\frac{1}{3}AO \geq \frac{1}{3}NA+\frac{1}{3}AO\geq \frac{1}{4}(NA+AO)\),
luego \(\rm 4 AO(NA+AO) \geq (NA+AO)^2\). Entonces \(\rm \dfrac{4(NA+AO)AM}{4(NA+AO)AO} \leq \dfrac{4(NA+AO)AM}{(NA+AO)^2}\),
de donde \(\rm \dfrac{MO}{AO} = \dfrac{AM+AO}{AO}\leq \dfrac{4(NA+AO)AM+(NA+AO)^2}{(NA+AO)^2}\), luego
\(\rm \dfrac{MO}{AO} < \dfrac{4(NA+AO+AM)AM+(NA+AO)^2}{(NA+AO)^2}\).
Ya que \(\rm 4(NA+AO+AM)AM+(NA+AO)^2 \)\(\rm = 4(NA+AO)AM+4AM^2+(NA+AO)^2 = (2AM+NA+AO)^2 \)\(\rm = (AM+NA+AM+AO) = (MN+MO)^2\),
entonces \(\rm \dfrac{MO}{AO} < \dfrac{(MN+MO)^2}{(NA+AO)^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot AO} < \dfrac{(MN+MO)^2}{(NA+AO)^2}\),
luego \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{(MN+MO)^2} < \dfrac{CN\cdot AO}{(NA+AO)^2}\).
Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{(MN+MO)^2} = \dfrac{AC^2}{(BK+lado recto_{BK})^2}\) y
\(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{(NA+AO)^2} = \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\) [Prop. VII.17], entonces
\(\rm \dfrac{AC^2}{(BK+lado recto_{BK})^2} < \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\), luego
\(\rm BK+lado recto_{BK} > AC+lado recto_{AC}\).
Hemos visto que
\(\rm AO \geq \frac{1}{4}(NA+AO)\), de donde \(\rm MO = MA+AO \geq \frac{1}{4}(NA+AO+4AM)\), luego
\(\rm MO > \frac{1}{4}(MN+MO)\), por tanto \(\rm 4MO(MN+MO)>(MN+MO)^2\).
Razonando como antes, se tiene que \(\rm \dfrac{CN\cdot EO}{(EN+EO)^2} < \dfrac{CN\cdot MO}{(MN+MO)^2}\),
de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(ST+lado recto_{ST})^2} < \dfrac{AC^2}{(BK+lado recto_{BK})^2}\),
y por tanto \(\rm lado recto_{ST} > lado recto_{BK}\).
Q. E. D.