Proposición 39

Si el eje transverso de una hipérbola es menor que su lado recto, pero no menor que su tercera parte, la suma de un diámetro cualquiera y su lado recto es mayor que la del eje y el suyo, y crece a medida que el diámetro se aleja del eje.

Si $\frac{1}{3} l a d o r e c t o_{A C} \leq A C < l a d o r e c t o_{A C}$ , tomemos $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ . Tracemos, por el punto C, las rectas CD, LC respectivamente paralelas a los diámetros TS, KB , y tracemos, desde los puntos D, L, las rectas DE, LM perpendiculares al eje .

Ya que $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , entonces $\frac{C N}{A C} = \frac{C N}{C N + N A} = \frac{A O}{A O + O C} = \frac{A O}{A C}$ , de donde $C N = A O$ y $N A = O C$ . Ya que, por hipótesis, $\frac{1}{3} l a d o r e c t o_{A C} \leq A C$ , tenemos que $C N = A O \geq \frac{1}{3} N A$ , de donde $A O \geq A O + \frac{1}{3} A O \geq \frac{1}{3} N A + \frac{1}{3} A O \geq \frac{1}{4} (N A + A O)$ , luego $4 A O (N A + A O) \geq (N A + A O)^{2}$ . Entonces $\frac{4 (N A + A O) A M}{4 (N A + A O) A O} \leq \frac{4 (N A + A O) A M}{(N A + A O)^{2}}$ , de donde $\frac{M O}{A O} = \frac{A M + A O}{A O} \leq \frac{4 (N A + A O) A M + (N A + A O)^{2}}{(N A + A O)^{2}}$ , luego $\frac{M O}{A O} < \frac{4 (N A + A O + A M) A M + (N A + A O)^{2}}{(N A + A O)^{2}}$ . Ya que $4 (N A + A O + A M) A M + (N A + A O)^{2}$ $= 4 (N A + A O) A M + 4 A M^{2} + (N A + A O)^{2} = (2 A M + N A + A O)^{2}$ $= (A M + N A + A M + A O) = (M N + M O)^{2}$ , entonces $\frac{M O}{A O} < \frac{(M N + M O)^{2}}{(N A + A O)^{2}}$ , de donde $\frac{C N \cdot M O}{C N \cdot A O} < \frac{(M N + M O)^{2}}{(N A + A O)^{2}}$ , luego $\frac{C N \cdot M O}{(M N + M O)^{2}} < \frac{C N \cdot A O}{(N A + A O)^{2}}$ . Ya que $\frac{C N \cdot M O}{(M N + M O)^{2}} = \frac{A C^{2}}{(B K + l a d o r e c t o_{B K})^{2}}$ y $\frac{C N \cdot A O}{(N A + A O)^{2}} = \frac{A C^{2}}{(A C + l a d o r e c t o_{A C})^{2}}$ [Prop. VII.17], entonces $\frac{A C^{2}}{(B K + l a d o r e c t o_{B K})^{2}} < \frac{A C^{2}}{(A C + l a d o r e c t o_{A C})^{2}}$ , luego $B K + l a d o r e c t o_{B K} > A C + l a d o r e c t o_{A C}$ .

Hemos visto que $A O \geq \frac{1}{4} (N A + A O)$ , de donde $M O = M A + A O \geq \frac{1}{4} (N A + A O + 4 A M)$ , luego $M O > \frac{1}{4} (M N + M O)$ , por tanto $4 M O (M N + M O) > (M N + M O)^{2}$ . Razonando como antes, se tiene que $\frac{C N \cdot E O}{(E N + E O)^{2}} < \frac{C N \cdot M O}{(M N + M O)^{2}}$ , de donde $\frac{A C^{2}}{(S T + l a d o r e c t o_{S T})^{2}} < \frac{A C^{2}}{(B K + l a d o r e c t o_{B K})^{2}}$ , y por tanto $l a d o r e c t o_{S T} > l a d o r e c t o_{B K}$ .

Q. E. D.