Si el eje transverso de una hipérbola es mayor que e1 otro, todo diámetro transverso será mayor que su conjugado; la razón de los ejes mayor que la de los diámetros y la de un par de diámetros conjugados mayor que la de otro par si el transverso del primer par está más cerca que el otro del eje transverso de la hipérbola.

Sean AC, IP los ejes de una hipérbola con el eje AC mayor que el eje IP Paso 1; sean BK, FG dos diámetros Paso 2. Digo que el diámetro BK es mayor que el diámetro recto que es su conjugado, y que, de forma similar, el diámetro FG es mayor que su diámetro recto conjugado. Por otro lado, digo que la razón del eje AC al eje IP es mayor que la razón del diámetro BK a su diámetro recto conjugado o mayor que la razón dal diámetro FG a su diámetro recto conjugado; finalmente, digo que la razón, a su conjugado es mayor que la razón del diámetro FG a su diámetro recto conjugado, si el diámetro BK es más cercano al eje que el diámetro FG.

Asegurémonos de que, las rectas AN y CO sean las rectas homólogas, es decir, \(\rm \dfrac{CN}{AN} = \dfrac{AO}{CO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) [Prop. VII.8] Paso 3. Tracemos la recta AD paralela a la tangente a la sección en el punto B Paso 4 y la recta AL paralela a la tangente a la sección en el punto F Paso 5, y tracemos las rectas DE, LM perpendiculares al eje mayor Paso 6. Por lo tanto, \(\rm \dfrac{BK^2}{diam.conjugado_{BK}^2} = \dfrac{OE}{EN}\) y \(\rm \dfrac{FG^2}{diam.conjugado_{FG}^2} = \dfrac{OM}{MN}\) [Prop. VII.6]. Como \(\rm OE > EN\) y \(\rm OM > MN\), entonces \(\rm BK > diam. conjugado_{BK}\) y \(\rm FG > diam. conjugado_{FG}\). Por otro lado, \(\rm OE = OA+EA\) y \(\rm EN = AN+EA\), luego \(\rm \dfrac{OE}{EN} < \dfrac{OA}{AN}\) y como \(\rm AN = CO\), se tiene que \(\rm \dfrac{OA}{CO} > \dfrac{OE}{EN}\), y análogamente \(\rm \dfrac{OA}{CO} > \dfrac{OM}{MN}\). Como las rectas AN y CO son las rectas homólogas, se tiene \(\rm \dfrac{OA}{CO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), y ya que AC y IP son diámetros conjugados, se tiene que \(\rm IP^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{IP^2} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), luego \(\rm \dfrac{OA}{CO} = \dfrac{AC^2}{IP^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{AC^2}{IP^2} > \dfrac{OE}{EN}\) y \(\rm \dfrac{AC^2}{IP^2} > \dfrac{OM}{MN}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{IP^2} > \dfrac{BK^2}{diám. conjugado_{BK}^2}\) y \(\rm \dfrac{AC^2}{IP^2} > \dfrac{FG^2}{diám. conjugado_{FG}^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC}{IP} > \dfrac{BK}{diám. conjugado_{BK}}\) y \(\rm \dfrac{AC}{IP} > \dfrac{FG}{diám. conjugado_{FG}}\). Como \(\rm OE = OM - ME\) y \(\rm EN = MN - ME\), luego \(\rm \dfrac{OE}{EN} > \dfrac{OM}{MN}\), de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{diám. conjugado_{BK}^2} > \dfrac{FG^2}{diám. conjugado_{FG}^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{BK}{diám. conjugado_{BK}} > \dfrac{FG}{diám. conjugado_{FG}}\).

Q. E. D.