Proposición 7

Si a partir de los extremos de uno de los ejes de una elipse se toman sendos segmentos iguales a las rectas que hemos llamado homólogas; se trazan dos diámetros conjugados cualesquiera y desde un extremo del eje la paralela a uno de los diámetros conjugados, la razón del cuadrado del otro diámetro a este es la misma que la de los segmentos del eje comprendidos entre el pie de la ordenada del punto de intersección de la cónica y el diámetro al que se ha trazado la paralela y los extremos de las rectas homólogas.

Sea AC un eje de una elipse ; sean AN, CO las dos rectas homólogas , y sean BK, FG dos diámetros conjugados . Tracemos la recta AL paralela al diámetro FG , y desde el punto L de la sección, tracemos la recta LM perpendicularmente al eje . Digo que $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{M O}{M N}$ , y que $\frac{K B}{l a d o r e c t o_{K B}} = \frac{M O}{M N}$ .

Tracemos la recta de unión CL ; tracemos desde el punto B la recta perpendicular BE al eje , y tracemos por el mismo punto B, paralelamente a la recta FG, la recta BD , que será tangente a la sección. Por lo tanto, ya que $C H = H A$ , y $L P = P A$ , la recta CL será paralela a la recta BH; de modo que, por la semejanza de los triángulos DEB y AML, $\frac{D E}{B E} = \frac{A M}{L M}$ y por la semejanza de los triángulos BEH y LMC, $\frac{B E}{E H} = \frac{L M}{M C}$ , de donde $\frac{D E}{E H} = \frac{A M}{M C}$ . Pero, $\frac{D E}{E H} = \frac{B D^{2}}{H G^{2}}$ [Prop. VII.4]; así que $\frac{B D^{2}}{H G^{2}} = \frac{A M}{M C}$ . Ahora, como, por la semejanza de los triángulos DBH y ALC, $\frac{B H^{2}}{B D^{2}} = \frac{C L^{2}}{A L^{2}}$ , entonces $\frac{B H^{2}}{H G^{2}} = \frac{B H^{2}}{B D^{2}} \cdot \frac{B D^{2}}{H G^{2}} = \frac{C L^{2}}{A L^{2}} \cdot \frac{A M}{M C}$ , de donde $\frac{B H^{2}}{H G^{2}} = \frac{C L^{2}}{C M \cdot M O} \cdot \frac{C M \cdot M O}{A M \cdot M N} \cdot \frac{A M \cdot M N}{A L^{2}} \cdot \frac{A M}{M C}$ . Ya que $\frac{C L^{2}}{C M \cdot M O} = \frac{A C}{A O}$ y $\frac{A L^{2}}{A M \cdot M N} = \frac{A C}{C N}$ [Prop. VII.3], entonces $\frac{B H^{2}}{H G^{2}} = \frac{A C}{A O} \cdot \frac{C M}{A M} \cdot \frac{M O}{M N} \cdot \frac{C N}{A C} \cdot \frac{A M}{M C}$ . Como $C N = A O$ , entonces $\frac{B H^{2}}{H G^{2}} = \frac{M O}{M N}$ , de donde $\frac{4 B H^{2}}{4 H G^{2}} = \frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{M O}{M N}$ . Ya que BK y FG son diámetros conjugados se tiene que $F G^{2} = B K \cdot l a d o r e c t o_{B K}$ , de donde $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K}}$ , luego $\frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K}} = \frac{M O}{M N}$ .

Q. E. D.