Si a partir de los extremos de uno de los ejes de una elipse se toman sendos segmentos iguales a las rectas que hemos llamado homólogas; se trazan dos diámetros conjugados cualesquiera y desde un extremo del eje la paralela a uno de los diámetros conjugados, la razón del cuadrado del otro diámetro a este es la misma que la de los segmentos del eje comprendidos entre el pie de la ordenada del punto de intersección de la cónica y el diámetro al que se ha trazado la paralela y los extremos de las rectas homólogas.

Sea AC un eje de una elipse Paso 1; sean AN, CO las dos rectas homólogas Paso 2, y sean BK, FG dos diámetros conjugados Paso 3. Tracemos la recta AL paralela al diámetro FG Paso 4, y desde el punto L de la sección, tracemos la recta LM perpendicularmente al eje Paso 5. Digo que \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{MO}{MN}\), y que \(\rm \dfrac{KB}{lado recto_{KB}} = \dfrac{MO}{MN}\).

Tracemos la recta de unión CL Paso 6; tracemos desde el punto B la recta perpendicular BE al eje Paso 7, y tracemos por el mismo punto B, paralelamente a la recta FG, la recta BD Paso 8, que será tangente a la sección. Por lo tanto, ya que \(\rm CH = HA\), y \(\rm LP = PA\), la recta CL será paralela a la recta BH; de modo que, por la semejanza de los triángulos DEB y AML, \(\rm \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{AM}{LM}\) y por la semejanza de los triángulos BEH y LMC, \(\rm \dfrac{BE}{EH} = \dfrac{LM}{MC}\), de donde \(\rm \dfrac{DE}{EH} = \dfrac{AM}{MC}\). Pero, \(\rm \dfrac{DE}{EH} = \dfrac{BD^2}{HG^2}\) [Prop. VII.4]; así que \(\rm \dfrac{BD^2}{HG^2} = \dfrac{AM}{MC}\). Ahora, como, por la semejanza de los triángulos DBH y ALC, \(\rm \dfrac{BH^2}{BD^2} = \dfrac{CL^2}{AL^2}\), entonces \(\rm \dfrac{BH^2}{HG^2} = \dfrac{BH^2}{BD^2}\cdot \dfrac{BD^2}{HG^2} = \dfrac{CL^2}{AL^2}\cdot \dfrac{AM}{MC}\), de donde \(\rm \dfrac{BH^2}{HG^2} = \dfrac{CL^2}{CM\cdot MO}\cdot \dfrac{CM\cdot MO}{AM\cdot MN}\cdot \dfrac{AM\cdot MN}{AL^2}\cdot \dfrac{AM}{MC}\). Ya que \(\rm \dfrac{CL^2}{CM\cdot MO} = \dfrac{AC}{AO}\) y \(\rm \dfrac{AL^2}{AM\cdot MN} = \dfrac{AC}{CN}\)[Prop. VII.3], entonces \(\rm \dfrac{BH^2}{HG^2} = \dfrac{AC}{AO}\cdot \dfrac{CM}{AM}\cdot \dfrac{MO}{MN}\cdot \dfrac{CN}{AC}\cdot \dfrac{AM}{MC}\). Como \(\rm CN = AO\), entonces \(\rm \dfrac{BH^2}{HG^2} = \dfrac{MO}{MN}\), de donde \(\rm \dfrac{4BH^2}{4HG^2} = \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{MO}{MN}\). Ya que BK y FG son diámetros conjugados se tiene que \(\rm FG^2 = BK\cdot lado recto_{BK}\), de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{BK}{lado recto_{BK}}\), luego \(\rm \dfrac{BK}{lado recto_{BK}} = \dfrac{MO}{MN}\).

Q. E. D.