Si a partir de los extremos del eje transverso de una hipérbola se toman sendos segmentos iguales a las rectas que hemos llamado homólogas; se trazan dos diámetros conjugados cualesquiera y desde un extremo del eje la paralela a uno de los diámetros conjugados, la razón del cuadrado del otro diámetro a este es la misma que la de los segmentos del eje comprendidos entre el pie de la ordenada del punto de intersección de la cónica y el diámetro al que se ha trazado la paralela y los extremos de las rectas homólogas.

Sea CAM el eje de una hipérbola Paso 1; sea AC el eje transverso de la sección, y el punto H el centro Paso 2. Sean las rectas AN, CO, una y otra, iguales a la recta homóloga Paso 3, y tracemos por el punto H, los diámetros conjugados FG, BK Paso 4. Sea AL una recta paralela a la recta FG Paso 5, y tracemos la perpendicular LM al eje AM Paso 6. Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2}{\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{O}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$.

Tracemos la recta de unión CL Paso 71; tracemos desde el punto B la perpendicular BE Paso 8, y tracemos desde este mismo punto, paralelamente a la recta FG, la recta BD, que por lo tanto será tangente a la sección Paso 9. Entonces, ya que $\mathrm{C}\mathrm{H}=\mathrm{H}\mathrm{A}$, y $\mathrm{L}\mathrm{P}=\mathrm{P}\mathrm{A}$, la recta CL será paralela a la derecha BH; de manera que, por la semejanza de los triángulos BED y LMA, ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$ y por la semejanza de los triángulos BEH y LMC, ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$. Ya que, ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}$ [Prop. VII.4], de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$, y, ya que, por la semejanza de los triángulos HBD y CLA, ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$. Pero, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{C}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{N}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{N}}{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{C}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{N}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{N}}{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{C}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{O}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{M}\cdot \mathrm{M}\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{C}\mathrm{N}}}$ [Prop. VII.2], entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{O}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{M}}{\mathrm{A}\mathrm{M}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{C}}}$, de donde, como $\mathrm{C}\mathrm{N}=\mathrm{A}\mathrm{O}$, tenemos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$, esto es, ${\displaystyle \frac{4\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}{4\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2}{\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$. Ya que BK, GF son diámetros conjugados, tenemos $\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2=\mathrm{B}\mathrm{K}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}$ [Prop. I.21], por lo tanto ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2}{\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{K}}{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$.

Q. E. D.