Si a partir de los extremos del eje transverso de una hipérbola se toman sendos segmentos iguales a las rectas que hemos llamado homólogas; se trazan dos diámetros conjugados cualesquiera y desde un extremo del eje la paralela a uno de los diámetros conjugados, la razón del cuadrado del otro diámetro a este es la misma que la de los segmentos del eje comprendidos entre el pie de la ordenada del punto de intersección de la cónica y el diámetro al que se ha trazado la paralela y los extremos de las rectas homólogas.

Sea CAM el eje de una hipérbola Paso 1; sea AC el eje transverso de la sección, y el punto H el centro Paso 2. Sean las rectas AN, CO, una y otra, iguales a la recta homóloga Paso 3, y tracemos por el punto H, los diámetros conjugados FG, BK Paso 4. Sea AL una recta paralela a la recta FG Paso 5, y tracemos la perpendicular LM al eje AM Paso 6. Digo que \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{OM}{MN}\).

Tracemos la recta de unión CL Paso 71; tracemos desde el punto B la perpendicular BE Paso 8, y tracemos desde este mismo punto, paralelamente a la recta FG, la recta BD, que por lo tanto será tangente a la sección Paso 9. Entonces, ya que \(\rm CH = HA\), y \(\rm LP = PA\), la recta CL será paralela a la derecha BH; de manera que, por la semejanza de los triángulos BED y LMA, \(\rm \dfrac{DE}{EB} = \dfrac{AM}{LM}\) y por la semejanza de los triángulos BEH y LMC, \(\rm \dfrac{BE}{EH} = \dfrac{LM}{MC}\), luego \(\rm \dfrac{DE}{EH} = \dfrac{AM}{MC}\). Ya que, \(\rm \dfrac{DE}{EH} = \dfrac{DB^2}{HG^2}\) [Prop. VII.4], de donde \(\rm \dfrac{DB^2}{HG^2} = \dfrac{AM}{MC}\), y, ya que, por la semejanza de los triángulos HBD y CLA, \(\rm \dfrac{HB^2}{DB^2} = \dfrac{CL^2}{AL^2}\), entonces \(\rm \dfrac{HB^2}{HG^2} = \dfrac{HB^2}{DB^2}\cdot \dfrac{DB^2}{HG^2} = \dfrac{CL^2}{AL^2}\cdot\dfrac{AM}{MC}\). Pero, \(\rm \dfrac{CL^2}{AL^2} = \dfrac{CL^2}{CM\cdot MO} \cdot \dfrac{CM\cdot MO}{AM\cdot MN} \cdot \dfrac{AM\cdot MN}{AL^2}\), de donde \(\rm \dfrac{HB^2}{HG^2} = \dfrac{CL^2}{CM\cdot MO} \cdot \dfrac{CM\cdot MO}{AM\cdot MN} \cdot \dfrac{AM\cdot MN}{AL^2}\cdot \dfrac{AM}{MC}\). Ya que \(\rm \dfrac{CL^2}{CM\cdot MO} = \dfrac{AC}{AO}\) y \(\rm \dfrac{AL^2}{AM\cdot MN} = \dfrac{AC}{CN}\) [Prop. VII.2], entonces \(\rm \dfrac{HB^2}{HG^2} = \dfrac{AC}{AO} \cdot \dfrac{CM}{AM} \cdot \dfrac{MO}{MN}\cdot \dfrac{AM}{MC}\), de donde, como \(\rm CN = AO\), tenemos que \(\rm \dfrac{HB^2}{HG^2} = \dfrac{MO}{MN}\), esto es, \(\rm \dfrac{4HB^2}{4HG^2} = \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{MO}{MN}\). Ya que BK, GF son diámetros conjugados, tenemos \(\rm FG^2 = BK\cdot lado recto_{BK}\) [Prop. I.21], por lo tanto \(\rm \dfrac{BK^2}{FG^2} = \dfrac{BK}{lado recto_{BK}} = \dfrac{MO}{MN}\).

Q. E. D.