Proposición 2

Dividiendo el eje transverso de una hipérbola en la razón de este eje a su parámetro, de modo que la parte contigua a uno de los extremos del eje corresponda al parárrletro, y trazando desde este extremo una recta a un punto cualquiera de la cónica desde el cual se baja la perpendicular al eje, el cuadrado de esa recta será al rectángulo cuyos lados sean los segmentos comprendidos entre la perpendicular y los extremos de la parte del eje correspondiente al lado recto como el eje transverso a la otra parte del eje. Llamaremos recta homóloga a la parte del eje correspondiente al lado recto.

Sea ACE el eje prolongado de una hipérbola ; CD su figura característica , H un punto de AC tal que $\frac{C H}{H A} = \frac{C A}{A D}$ . Desde el punto A, tracemos cualquier recta AB y tracemos la recta BE perpendicular al eje . Digo que $\frac{A B^{2}}{H E \cdot E A} = \frac{A C}{C H}$ .

Hagamos $A E \cdot E F = B E^{2}$ , de donde $\frac{A E \cdot E F}{A E \cdot E C} = \frac{B E^{2}}{A E \cdot E C}$ . Ya que $\frac{B E^{2}}{A E \cdot E C} = \frac{A D}{A C}$ [Prop. I.12], entonces $\frac{E F}{E C} = \frac{A E \cdot E F}{A E \cdot E C} = \frac{A D}{A C}$ . Como, por hipótesis, $\frac{A H}{H C} = \frac{A D}{A C}$ , entonces $\frac{F C}{E C} = \frac{E F + E C}{E C} = \frac{A H + H C}{H C} = \frac{A C}{H C}$ , luego $\frac{F A}{H E} = \frac{F C - A C}{E C - H C} = \frac{A C}{H C}$ , por tanto $\frac{F A \cdot A E}{H E \cdot A E} = \frac{A C}{H C}$ . Ya que $F A \cdot A E = (A E + E F) A E = A E^{2} + A E \cdot E F = A E^{2} + B E^{2} = A B^{2}$ , entonces $\frac{A B^{2}}{H E \cdot A E} = \frac{A C}{H C}$ .

Q. E. D.