La suma del cuadrado de un diámetro cualquiera de una elipse y la figura construida sobre él es constante.

Sea H el centro de una elipse Paso 1, y sean BK, FG, así como ST, PI, diámetros conjugados Paso 2. Digo que $\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2+\mathrm{B}\mathrm{K}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}=\mathrm{S}{\mathrm{T}}^2+\mathrm{S}\mathrm{T}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}$.

En efecto, $\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2+\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2=\mathrm{S}{\mathrm{T}}^2+\mathrm{P}{\mathrm{I}}^2$ [Prop. VII.12]; mientras que $\mathrm{F}{\mathrm{G}}^2=\mathrm{B}\mathrm{K}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}$ y $\mathrm{P}{\mathrm{I}}^2=\mathrm{S}\mathrm{T}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}$ [Prop. I.15], de donde $\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2+\mathrm{B}\mathrm{K}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}=\mathrm{S}{\mathrm{T}}^2+\mathrm{S}\mathrm{T}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}$.

Q. E. D.