Si un diámetro de una elipse es mayor que su conjugado, la razón de ambos es menor que la del eje mayor al menor, y la de un par de diámetros conjugados mayor que la de otro par si el diámetro mayor del primer par está más cerca que el otro del eje mayor de la elipse.

Sea AB el eje mayor de una elipse, y CD su eje menor Paso 1. Sean EF, GK y ON, QP diámetros conjugados de la sección Paso 2, con el diámetro EF mayor que su conjugado GK, y el diámetro ON mayor que su conjugado QP. Tracemos desde los puntos E, N las rectas EL, NX perpendiculares al eje AB Paso 3, y desde los puntos G, P las rectas GM, PR perpendiculares al eje CD Paso 4. Entonces \(\rm \dfrac{AH\cdot HB}{AL\cdot LB} = \dfrac{HC^2}{LE^2}\) [Prop. I.21]. Como \(\rm AH = HB > HC\), se tiene \(\rm AH\cdot HB > HC^2\), de donde \(\rm HL^2 + AL\cdot LB > HL^2+LE^2 = HE^2\). Ya que \(\rm HL^2+AL\cdot LB = HL^2 + AL(HL+HB) = HL^2 + AL(HL+HA)\)\(\rm = HL^2+AL(HL+HL+AL) = HL^2+2 AL\cdot HL+AL^2\)\(\rm = (HL+AL)^2 = AH^2\), entonces \(\rm AH^2 > HE^2\), de donde \(\rm AH > HE\), luego \(\rm 2AH > 2HE\). Por tanto \(\rm AB > FE\).

También \(\rm \dfrac{CH\cdot HD}{CM\cdot MD} = \dfrac{HB^2}{MG^2}\) [Prop. I.21]. Como \(\rm CH = HD < HB\), se tiene \(\rm CH\cdot HD < HB^2\), de donde \(\rm CM\cdot MD < MG^2\), luego \(\rm HM^2+CM\cdot MD < HM^2+MG^2\). Por tanto \(\rm HC^2 < HG^2\), de donde \(\rm HC < HG\), luego \(\rm 2HC < 2HG\). Por tanto \(\rm CD < GK\).

Como \(\rm AB > FE\) y \(\rm CD < GK\), entonces \(\rm \dfrac{AB}{CD} > \dfrac{EF}{GK}\). Además, el diámetro EF es conjugado al diámetro GK, paralelo a la tangente a la sección en el punto E, y el diámetro PQ es conjugado al diámetro NO, paralelo a la tangente a la sección en el punto N; por lo tanto, el diámetro PQ está más cerca del eje mayor AB que el diámetro KG.

Por otra parte, \(\rm \dfrac{AL\cdot LB}{AX\cdot XB} = \dfrac{LE^2}{NX^2}\) [Prop. I.21]. Como \(\rm AX\cdot XB = (AH+XH)(AH-XH) = AH^2-XH^2\) y análogamente \(\rm AL\cdot LB = (AH+LH)(AH-LH) = AH^2-LH^2\), entonces, ya que \(\rm AH^2-XH^2 > AH^2-LH^2\), se tiene que \(\rm AX\cdot XB > AL\cdot LB\). Entonces \(\rm \dfrac{AL\cdot LB}{AX\cdot XB-AL\cdot LB} = \dfrac{LE^2}{NX^2-LE^2}\). Ya que \(\rm AL\cdot LB > LE^2\), entonces \(\rm AX\cdot XB-AL\cdot LB > NX^2-LE^2\). La relación \(\rm AL\cdot LB > LE^2\) implica que \(\rm AX\cdot XB > NX^2\). Ya que \(\rm AX\cdot XB = AH^2 - XH^2\) y \(\rm AL\cdot LB = AH^2-LH^2\), entonces \(\rm AX\cdot XB - AL\cdot LB= LH^2 - XH^2\), de donde \(\rm LH^2 - XH^2 > NX^2 - LE^2\). Por tanto \(\rm HE^2 = LH^2+LE^2 > NX^2+XH^2 = NH^2\), de donde \(\rm HE > NH\), luego \(\rm EF=2HE > 2NH=NO\).

Razonando de la misma manera, \(\rm \dfrac{CR\cdot RD}{CM\cdot MD} = \dfrac{PR^2}{GM^2}\)[Prop. I.21], mientras que \(\rm CR\cdot RD < PR^2\) y \(\rm CM\cdot MD < GM^2\); en consecuencia, \(\rm CR\cdot RD - CM\cdot MD < PR^2 - GM^2\). Pero \(\rm CR\cdot RD - CM\cdot MD = HM^2 -HR2\). Por lo tanto \(\rm HM^2 - HR^2 < PR^2-MG^2\). De ahí que \(\rm HM^2+MG^2 < HR^2+RP^2\). En consecuencia, \(\rm HG < HP\) y por tanto \(\rm GK < PQ\). Por lo tanto, dado que \(\rm EF > ON\), \(\rm \dfrac{EF}{GK} > \dfrac{ON}{PQ}\).

Digo también que el lado recto relativo al diámetro AB es menor que el lado recto relativo al diámetro EF; que el lado recto relativo al diámetro EF es menor que el lado recto relativo al diámetro ON y que el lado recto relativo al diámetro ON es menor que el lado recto relatico al eje menor CD.

En efecto, tenemos \(\rm AB > PQ > GK > CD\) y \(\rm NO < EF < AB\). Como \(\rm AB^2 = CD\cdot lado recto_{CD}\), \(\rm PQ^2 = ON\cdot lado recto_{ON}\), \(\rm GK^2 = EF\cdot lado recto_{EF}\) y \(\rm CD^2 = AB\cdot lado recto_{AB}\) [Prop. I.15], entonces \(\rm lado recto_{CD} > lado recto_{ON} > lado recto_{EF} > ladorecto_{AB}\).

Q. E. D.