Proposición 50

Si el eje transverso de una hipérbola es menor que su lado recto, la diferencia de los cuadrados de estas dos magnitudes es mayor que la de las mismas magnitudes respecto de cualquier diámetro; esta diferencia disminuye a medida que e1 diámetro se aleja de1 eje y es menor que la que hay entre el cuadrado del eje y el rectángulo construido con el eje y su lado recto y mayor que e1 doble de esta diferencia.

Sea AC el eje de la sección ; asegurémonos de $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , y el resto de la figura es la misma de la proposición anterior .

Entonces, por hipótesis, $A C < l a d o r e c t o_{A C}$ , y $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , y ya que, $C N = A O$ y $N A = O C$ , se tiene $\frac{A O^{2}}{N A^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{A C}^{2}}$ , de donde $\frac{A O^{2}}{N A^{2} - A O^{2}} = \frac{C N \cdot A O}{N A^{2} - A O^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{A C}^{2}} - A C^{2}$ . Por otra perte, se tiene $M O > O A$ , de donde $M O \cdot N O + M O \cdot O A > O A \cdot N O + M O \cdot O A$ , luego $M O \cdot N A > O A \cdot M N$ . Por tanto $\frac{M O}{O A} > \frac{M N}{N A}$ , de donde $\frac{M O}{O A} > \frac{M O + M N}{O A + N A} = \frac{(M O + M N) N O}{(O A + N A) N O}$ , luego $\frac{C N \cdot M O}{C N \cdot O A} > \frac{(M O + M N) N O}{(O A + N A) N O} = \frac{(M O + M N) (M N - M O)}{(O A + N A) (N A - O A)}$ $= \frac{M N^{2} - M O^{2}}{N A^{2} - O A^{2}}$ . Ya que $\frac{C N \cdot M O}{M N^{2} - M O^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{K B}^{2} - K B^{2}}$ [Prop. VII.20] y como $\frac{C N \cdot O A}{N A^{2} - O A^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{A C}^{2} - A C^{2}}$ , entonces $\frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{K B}^{2} - K B^{2}} > \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{A C}^{2} - A C^{2}}$ , luego $l a d o r e c t o_{K B}^{2} - K B^{2} < l a d o r e c t o_{A C}^{2} - A C^{2}$ . Análogamente se prueba que $l a d o r e c t o_{S T}^{2} - S T^{2} < l a d o r e c t o_{K B}^{2} - K B^{2}$ .

Por otra parte, tomemos $B P = l a d o r e c t o_{B K}$ . Ya que $B K \cdot l a d o r e c t o_{B K} - B K^{2} = A C \cdot l a d o r e c t o_{A C} - A C^{2}$ [Prop. VII.29], entonces $B K \cdot B P - B K^{2} = B K (B K + K P) - B K^{2} = B K \cdot K P$ , luego $B K \cdot K P = A C \cdot l a d o r e c t o_{A C} - A C^{2}$ . Por tanto $2 B K \cdot K P + K P^{2} = 2 B K \cdot K P + K P^{2} + B K^{2} - B K^{2}$ $= (B K + K P)^{2} - B K^{2} = B P^{2} - B K^{2}$ , de donde $B P^{2} - B K^{2} = l a d o r e c t o_{B K}^{2} - B K^{2} > 2 (A C \cdot l a d o r e c t o_{A C} - A C^{2})$ .

Q. E. D.