Si
el eje transverso de una hipérbola es menor que su lado recto, la diferencia de los cuadrados de estas dos magnitudes es mayor
que la de las mismas magnitudes respecto de cualquier diámetro; esta
diferencia disminuye a medida que e1 diámetro se aleja de1 eje
y es menor que la que hay entre el cuadrado del eje y el rectángulo
construido con el eje y su lado recto y mayor que e1 doble de esta
diferencia.
Sea AC el eje de la sección ; asegurémonos de \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) , y el resto de la figura es la misma de la proposición anterior .
Entonces, por hipótesis, \(\rm AC < lado recto_{AC}\), y \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), y ya que, \(\rm CN = AO\) y \(\rm NA = OC\), se tiene \(\rm \dfrac{AO^2}{NA^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2}\), de donde
\(\rm \dfrac{AO^2}{NA^2-AO^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2-AO^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2}-AC^2\).
Por otra perte, se tiene \(\rm MO> OA\), de donde \(\rm MO\cdot NO+MO\cdot OA > OA\cdot NO+MO\cdot OA\),
luego \(\rm MO\cdot NA > OA\cdot MN\). Por tanto \(\rm \dfrac{MO}{OA} > \dfrac{MN}{NA}\), de donde
\(\rm \dfrac{MO}{OA} > \dfrac{MO+MN}{OA+NA} = \dfrac{(MO+MN)NO}{(OA+NA)NO}\), luego
\(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot OA} > \dfrac{(MO+MN)NO}{(OA+NA)NO} = \dfrac{(MO+MN)(MN-MO)}{(OA+NA)(NA-OA)}\)\(\rm = \dfrac{MN^2-MO^2}{NA^2-OA^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2-MO^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{KB}^2-KB^2}\) [Prop. VII.20] y como
\(\rm \dfrac{CN\cdot OA}{NA^2-OA^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2-AC^2}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{KB}^2-KB^2} > \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2-AC^2}\), luego \(\rm lado recto_{KB}^2-KB^2 < lado recto_{AC}^2-AC^2\).
Análogamente se prueba que \(\rm lado recto_{ST}^2-ST^2 < lado recto_{KB}^2-KB^2\).
Por otra parte, tomemos \(\rm BP=lado recto_{BK}\) . Ya que \(\rm BK\cdot lado recto_{BK} - BK^2 = AC\cdot lado recto_{AC} - AC^2\)[Prop. VII.29], entonces \(\rm BK\cdot BP - BK^2 = BK(BK+KP)-BK^2 = BK\cdot KP\), luego \(\rm BK\cdot KP = AC\cdot lado recto_{AC}-AC^2\). Por tanto \(\rm 2BK\cdot KP+KP^2 = 2 BK\cdot KP+KP^2+BK^2-BK^2 \)\(\rm = (BK+KP)^2-BK^2 = BP^2-BK^2\), de donde
\(\rm BP^2-BK^2 = lado recto_{BK}^2-BK^2 > 2(AC\cdot lado recto_{AC}-AC^2)\).
Q. E. D.