Trazando por el centro de una hipérbola o de una elipse una paralela al eje de la cónica igual al semidiámetro conjugado al del punto de contacto de la tangente, el cuadrado de esta será al del semidiámetro paralelo a la tangente como los segmentos del pie de la ordenada del punto de contacto al de intersección de este con el eje y el centro de la cónica.

Sea una hipérbola o una elipse de eje AC Paso 1 y centro H Paso 2, y una tangente BD a esta sección en el punto B que corta al eje AC en el punto D Paso 3. Tracemos, desde el punto B, la recta BE perpendicular al eje CAE Paso 4, y una recta HG paralela a la recta BD, igual a la mitad del diámetro conjugado al diámetro trazado por el punto de contacto B Paso 5. Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}$.

Tracemos, por del punto B, el diámetro BHF Paso 6 y las rectas AL, DK paralelas a la recta BE Paso 7, y construyamos una recta M tal que ${\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{L}}}$ Paso 8, relación de la que se desprende, en virtud de [Prop. I.50], que la recta M es la mitad del lado recto, es decir, la mitad de la altura constante de los rectángulos que, aumentados o disminuidos, según sea la hipérbola o la elipse, de los rectángulos semejantes al rectángulo de lados 2M y FB, son equivalentes a los cuadrados de las ordenadas al diámetro BH. Luego, por la semejanza de los triángulos BLP y BKD, tenemos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{B}\mathrm{K}}}$, de donde $\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2=\mathrm{M}\cdot \mathrm{B}\mathrm{K}$. Como, por hipótesis, HG es igual a la mitad del diámetro conjugado de FB, entonces $\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2=\mathrm{M}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}$ [Prop. I.15, Prop. II.20]. Entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2}{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\cdot \mathrm{B}\mathrm{K}}{\mathrm{M}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{K}}{\mathrm{H}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}$.

Q. E. D.