El rectángulo construido sobre el eje mayor de una elipse y su lado recto es menor que el construido sobre un diámetro cualquiera y el suyo; crece a medida que el diámetro se aleja del eje y el rectángulo máximo es el construido sobre el eje menor y su lado recto.

Tracemos las rectas CL, CI Paso 1 paralelas a los diámetros KB, ST Paso 2, tracemos las rectas LM, IP perpendiculares al eje Paso 3, y hagamos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{O}}{\mathrm{O}\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}}}$ Paso 4, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{C}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{C}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}}}$. Como $\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2=\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}$ [Prop. VII.15], entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}}{\mathrm{A}\mathrm{C}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{A}}}$. Ya que $\mathrm{N}\mathrm{A}<\mathrm{C}\mathrm{N}$, entonces $\mathrm{A}\mathrm{C}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}<\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}$.

Por otra parte ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{M}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{K}\mathrm{B}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{K}\mathrm{B}}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{P}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{F}\mathrm{G}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{F}\mathrm{G}}}}$ [Prop. VII.18], mientras que $\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2=\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}$ da ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{C}\mathrm{N}}}$. Como $\mathrm{A}\mathrm{N}<\mathrm{N}\mathrm{M}<\mathrm{N}\mathrm{P}<\mathrm{N}\mathrm{C}$, entonces $\mathrm{A}\mathrm{C}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}<\mathrm{K}\mathrm{B}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{K}\mathrm{B}}<\mathrm{F}\mathrm{G}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{F}\mathrm{G}}$$<\mathrm{D}\mathrm{E}\cdot \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}$.

Q. E. D.