Si
el eje transverso de una hipérbola no es menor que su lado recto, este es menor que el de cualquier diámetro, y los lado rectos disminuyen
a medida que los diámetros se acercan al eje.
Sea AC el eje de una hipérbola y QR su eje conjugado ; sea H su centro , y KB, TS
otros diámetros . Digo \(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{BK} < lado recto_{TS}\).
Primero supongamos que \(\rm AC = lado recto_{AC}\). Ya que \(\rm QR^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.16],
entonces \(\rm QR^2 = AC^2\), de donde \(\rm QR = AC\). Entonces \(\rm BK = TS\) [Prop. VII.23], de donde \(\rm KB^2 = TS^2\).
Como \(\rm TS^2 = KB\cdot lado recto_{KB}\) [Prop. I.16], entonces \(\rm KB^2 = KB\cdot lado recto_{KB}\).
Por lo tanto, \(\rm BK = lado recto_{BK}\).
Pero, \(\rm AC < BK\); por lo tanto, \(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{BK}\).
De manera similar, como \(\rm TS= lado recto_{TS}\), y \(\rm KB < ST\), entonces \(\rm lado recto_{KB} < lado recto_{ST}\).
Supongamos ahora que \(\rm AC > lado recto_{AC}\). Ya que \(\rm QR^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.16], entonces
\(\rm AC > QR\), de donde \(\rm KB > TS\) [Prop. VII.21]. Ya que \(\rm TS^2 = KB\cdot lado recto_{KB}\) [Prop. I.16],
entonces \(\rm KB > lado recto_{KB}\). Como \(\rm \dfrac{AC}{QR} > \dfrac{KB}{TS}\) [Prop. VII.21], entonces
\(\rm \dfrac{AC^2}{QR^2} > \dfrac{KB^2}{TS^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}} > \dfrac{KB^2}{KB\cdot lado recto_{KB}}\),
luego \(\rm \dfrac{AC}{lado recto_{AC}} > \dfrac{KB}{lado recto_{KB}}\). Ya que, \(\rm AC < KB\), entonces
\(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{BK}\).
De manera similar,
\(\rm \dfrac{KB}{lado recto_{KB}} > \dfrac{TS}{lado recto_{TS}}\).
Pero, \(\rm AC < KB < TS\); por lo tanto, \(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{KB} < lado recto_{TS}\).
Q. E. D.