Si el cuadrado del eje transverso de una hipérbola es menor que la mitad del cuadrado de la diferencia entre dicho eje y su lado recto, hay a cada lado del eje un diámetro cuyo cuadrado equivale a la mitad del cuadrado de la diferencia entre este diámetro y su lado recto, y la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor que la de las análogas respecto de cualquier otro diámetro. Esta última suma crece a medida que el diámetro se aleja del eje.

Ya que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) y \(\rm CN = AO\) Paso 1, entonces \(\rm \dfrac{AO}{NO} = \dfrac{AO}{NA-AO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), luego \(\rm \dfrac{2AO^2}{NO^2} = \dfrac{2AC^2}{(lado recto_{AC}-AC)^2}\) y como, por hipótesis, \(\rm AC^2 < \frac{1}{2}(lado recto_{AC})^2\), entonces \(\rm 2 AO^2 < NO^2\). Hagamos \(\rm MO > AO\) de manera que \(\rm 2 MO^2 = NO^2\) Paso 2. Tracemos desde el punto M la recta ML perpendicular al eje Paso 3, y tracemos el diámetro KHB paralelo a la recta de unión CL Paso 4. Entonces, \(\rm \dfrac{BK}{lado recto_{BK}} = \dfrac{MO}{MN}\); de donde \(\rm \dfrac{BK}{lado recto_{BK}-BK} = \dfrac{MO}{MN-MO}= \dfrac{MO}{NO}\), luego \(\rm \dfrac{BK^2}{(lado recto_{BK}-BK)^2} = \dfrac{MO^2}{NO^2}=\dfrac{MO^2}{2MO^2}\). Por tanto \(\rm BK^2 =\frac{1}{2}(lado recto_{BK}-BK)^2\).

Ahora tracemos otros diámetros cualesquiera DE, IT entre los puntos A, B Paso 5; tracemos las rectas CX, CP paralelas a estos diámetros Paso 6 y las rectas XU, PQ perpendiculares al eje Paso 7. Se tiene \(\rm 2MO^2 = ON^2\) y como \(\rm OU < MO\), entonces \(\rm 2MO\cdot OU < ON^2\), de donde \(\rm 2 MO\cdot OU+2 UN\cdot OU < ON^2+2 UN\cdot OU\), luego \(\rm 2MO\cdot OU +2(ON+UO)UO< (UN-OU)^2+2 UN\cdot OU\). Por tanto \(\rm 2(MO+ON+OU)OU < UN^2+OU^2-2UN\cdot OU+2UN\cdot OU\), de donde \(\rm 2(MN+OU)OU < UN^2+OU^2\), relación a partir de la cual, siguiendo la marcha indicada e invocando a [Prop. VII.19], se llega a \(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2} > \dfrac{AC^2}{DE^2+lado recto_{DE}^2}\). Por tanto \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 < DE^2+lado recto_{DE}^2\).

Además, como \(\rm OQ < UO < MO\), de \(\rm 2MO^2=ONP2\) se deduce que \(\rm 2 UO\cdot OQ < ON^2\), de donde \(\rm 2UO\cdot OQ+2NQ\cdot OQ < ON^2+2NQ\cdot OQ\), luego \(\rm 2UO\cdot OQ+2(ON+OQ)OQ < (NQ-OQ)^2+2NQ\cdot OQ\). Por tanto \(\rm 2(UN+OQ)OQ < NQ^2+OQ^2\); de modo que, razonando de de análoga manera, se establece que \(\rm DE^2+lado recto_{DE}^2 < IT^2+lado recto_{IT}^2\).

Además, como \(\rm 2QO\cdot OA < ON^2\), se demuestra de manera similar que \(\rm IT^2+lado recto_{IT}^2 < AC^2+lado recto_{AC}^2\).

Tracemos otros diámetros FG, ZJ más alejados del eje que el diámetro KB Paso 8, sean las rectas CS, CY paralelas a estos diámetros Paso 9, y tracemos las rectas SR, YV perpendiculares al eje Paso 10. Ya que \(\rm 2RO\cdot OM > ON^2\), será evidente, siguiendo el mismo procedimiento, que \(\rm FG^2+lado recto_{FG}^2 < KB^2+lado recto_{KB}^2\). Finalmente, ya que \(\rm VO\cdot OR > ON^2\), se demostrará, de la misma manera, que \(\rm ZJ^2+lado recto_{ZJ}^2 < FG^2+lado recto_{FG}^2\).

Q. E. D.