Proposición 46

Si el cuadrado del eje transverso de una hipérbola es menor que la mitad del cuadrado de la diferencia entre dicho eje y su lado recto, hay a cada lado del eje un diámetro cuyo cuadrado equivale a la mitad del cuadrado de la diferencia entre este diámetro y su lado recto, y la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor que la de las análogas respecto de cualquier otro diámetro. Esta última suma crece a medida que el diámetro se aleja del eje.

Ya que $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ y $C N = A O$ , entonces $\frac{A O}{N O} = \frac{A O}{N A - A O} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , luego $\frac{2 A O^{2}}{N O^{2}} = \frac{2 A C^{2}}{(l a d o r e c t o_{A C} - A C)^{2}}$ y como, por hipótesis, $A C^{2} < \frac{1}{2} (l a d o r e c t o_{A C})^{2}$ , entonces $2 A O^{2} < N O^{2}$ . Hagamos $M O > A O$ de manera que $2 M O^{2} = N O^{2}$ . Tracemos desde el punto M la recta ML perpendicular al eje , y tracemos el diámetro KHB paralelo a la recta de unión CL . Entonces, $\frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K}} = \frac{M O}{M N}$ ; de donde $\frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K} - B K} = \frac{M O}{M N - M O} = \frac{M O}{N O}$ , luego $\frac{B K^{2}}{(l a d o r e c t o_{B K} - B K)^{2}} = \frac{M O^{2}}{N O^{2}} = \frac{M O^{2}}{2 M O^{2}}$ . Por tanto $B K^{2} = \frac{1}{2} (l a d o r e c t o_{B K} - B K)^{2}$ .

Ahora tracemos otros diámetros cualesquiera DE, IT entre los puntos A, B ; tracemos las rectas CX, CP paralelas a estos diámetros y las rectas XU, PQ perpendiculares al eje . Se tiene $2 M O^{2} = O N^{2}$ y como $O U < M O$ , entonces $2 M O \cdot O U < O N^{2}$ , de donde $2 M O \cdot O U + 2 U N \cdot O U < O N^{2} + 2 U N \cdot O U$ , luego $2 M O \cdot O U + 2 (O N + U O) U O < (U N - O U)^{2} + 2 U N \cdot O U$ . Por tanto $2 (M O + O N + O U) O U < U N^{2} + O U^{2} - 2 U N \cdot O U + 2 U N \cdot O U$ , de donde $2 (M N + O U) O U < U N^{2} + O U^{2}$ , relación a partir de la cual, siguiendo la marcha indicada e invocando a [Prop. VII.19], se llega a $\frac{A C^{2}}{K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2}} > \frac{A C^{2}}{D E^{2} + l a d o r e c t o_{D E}^{2}}$ . Por tanto $K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2} < D E^{2} + l a d o r e c t o_{D E}^{2}$ .

Además, como $O Q < U O < M O$ , de $2 M O^{2} = O N P 2$ se deduce que $2 U O \cdot O Q < O N^{2}$ , de donde $2 U O \cdot O Q + 2 N Q \cdot O Q < O N^{2} + 2 N Q \cdot O Q$ , luego $2 U O \cdot O Q + 2 (O N + O Q) O Q < (N Q - O Q)^{2} + 2 N Q \cdot O Q$ . Por tanto $2 (U N + O Q) O Q < N Q^{2} + O Q^{2}$ ; de modo que, razonando de de análoga manera, se establece que $D E^{2} + l a d o r e c t o_{D E}^{2} < I T^{2} + l a d o r e c t o_{I T}^{2}$ .

Además, como $2 Q O \cdot O A < O N^{2}$ , se demuestra de manera similar que $I T^{2} + l a d o r e c t o_{I T}^{2} < A C^{2} + l a d o r e c t o_{A C}^{2}$ .

Tracemos otros diámetros FG, ZJ más alejados del eje que el diámetro KB , sean las rectas CS, CY paralelas a estos diámetros , y tracemos las rectas SR, YV perpendiculares al eje . Ya que $2 R O \cdot O M > O N^{2}$ , será evidente, siguiendo el mismo procedimiento, que $F G^{2} + l a d o r e c t o_{F G}^{2} < K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2}$ . Finalmente, ya que $V O \cdot O R > O N^{2}$ , se demostrará, de la misma manera, que $Z J^{2} + l a d o r e c t o_{Z J}^{2} < F G^{2} + l a d o r e c t o_{F G}^{2}$ .

Q. E. D.