La
diferencia del cuadrado de un diámetro cualquiera de
una hipérbola y la figura construida sobre él es constante.
Sea AC el eje de una hipérbola y QR el eje conjugado ; sea H el centro , y BK, FG
y ST, IP diámetros conjugados de esta hipérbola . Digo que \(\rm AC^2 - AC\cdot lado recto_{AC} = BK^2-BK\cdot lado recto_{BK}\)\(\rm = ST^2-ST\cdot lado recto_{ST}\).
En efecto, \(\rm AC^2-QR^2 = BK^2-FG^2 = ST^2-IP^2\) [Prop. VII.13], mientras que \(\rm AC\cdot lado recto_{AC} = QR^2\), \(\rm BK\cdot lado recto_{BK} = FG^2\),
\(\rm ST\cdot lado recto_{ST}= IP^2\) [Prop. I.16], de donde
\(\rm AC^2 - AC\cdot lado recto_{AC} = BK^2-BK\cdot lado recto_{BK}\)\(\rm = ST^2-ST\cdot lado recto_{ST}\).
Q. E. D.