La suma del eje mayor de una elipse y su lado recto, es menor que la de un diámetro cualquiera y el suyo, y disminuye a medida que este se aleja del eje. La suma del eje menor de una elipse y su lado recto, es mayor que la de un diámetro cualquiera y el suyo, y aumenta a medida que este se aleja del eje.

Sea AC el eje mayor de una elipse Paso 1, sea DE el eje menor Paso 2, y son KB, FG otros diámetros Paso 3 a los que trazamos las paralelas CL, CI Paso 4. Tracemos las rectas LM, IP perpendiculares al eje Paso 5, y asegurémonos de que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) Paso 6. Entonces, \(\rm \dfrac{CN}{AC} = \dfrac{CN}{CN-NA} = \dfrac{AO}{AO-OC} = \dfrac{AO}{AC}\), de donde \(\rm CN=AO\) y \(\rm NA=OC\). Entonces \(\rm \dfrac{AC}{AC+lado recto_{AC}} = \dfrac{CN}{CN+NA} = \dfrac{CN}{AO+NA} = \dfrac{CN}{NO}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2} = \dfrac{CN^2}{NO^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{NO^2}\). Pero \(\rm DE^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. VII.15], de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{DE^2} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\). Ya que \(\rm NA=CO\), entonces \(\rm \dfrac{CN}{CO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{DE^2} = \dfrac{CN}{CO} = \dfrac{CN\cdot CO}{CO^2}\). Además \(\rm \dfrac{DE}{lado recto_{DE}} = \dfrac{lado recto_{AC}}{AC}\), de donde \(\rm \dfrac{DE}{lado recto_{DE}} = \dfrac{CO}{CN}\), luego \(\rm \dfrac{DE}{DE+lado recto_{DE}} = \dfrac{CO}{CO+CN}=\dfrac{CO}{NO}\). Por tanto \(\rm \dfrac{DE^2}{(DE+lado recto_{DE})^2} = \dfrac{CO^2}{NO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE+lado recto_{DE})^2} = \dfrac{CN\cdot CO}{NO^2}\). Ya que \(\rm CO < AO\), se tiene \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE+lado recto_{DE})^2} < \dfrac{CN\cdot AO}{NO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE+lado recto_{DE})^2} < \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\), por tanto \(\rm AC+lado recto_{AC} < DE+lado recto_{DE}\).

Por otra parte, \(\rm \dfrac{AC^2}{(KB+lado recto_{KB})^2} = \dfrac{NC\cdot MO}{(MO+MN)^2}=\dfrac{NC\cdot MO}{NO^2}\) [Prop. VII.17]. Ya que \(\rm AO>MO\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(KB+lado recto_{KB})^2} < \dfrac{NC\cdot AO}{NO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2} > \dfrac{AC^2}{(KB+lado recto_{KB})^2}\), luego \(\rm AC+lado recto_{AC} < KB+lado recto_{KB}\).

Tenemos que \(\rm \dfrac{AC^2}{(FG+lado recto_{FG})^2} = \dfrac{NC\cdot OP}{(MO+MN)^2}=\dfrac{NC\cdot OP}{NO^2}\) [Prop. VII.17]. Ya que \(\rm MO>OP\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(FG+lado recto_{FG})^2} < \dfrac{NC\cdot MO}{NO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(KB+lado recto_{KB})^2} > \dfrac{AC^2}{(FG+lado recto_{FG})^2}\), luego \(\rm KB+lado recto_{KB} < FG+lado recto_{FG}\).

Finalmente, ya que \(\rm OP > CO\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(FG+lado recto_{FG})^2} = \dfrac{CN\cdot OP}{NO^2}\) y \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE+lado recto_{DE})^2} = \dfrac{CN\cdot CO}{NO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{(FG+lado recto_{FG})^2} > \dfrac{AC^2}{(DE+lado recto_{DE})^2}\), luego \(\rm FG+lado recto_{FG} < DE+lado recto_{DE}\).

Q. E. D.