Si
el eje transverso de una hipérbola es menor que su lado recto y su cuadrado no es menor que la mitad del de la diferencia entre
dicho eje y su lado recto, la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes
es menor que la de las de las análogas respecto de un diámetro.
Mantengamos la figura de la cuadragésima segunda proposición , y asegurémonos de que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) . Entonces \(\rm \dfrac{CN}{AC} = \dfrac{CN}{CN+NA} = \dfrac{AO}{AO+OC} = \dfrac{AO}{AC} \),
de donde \(\rm AO=CN\), luego \(\rm \dfrac{AO}{NA} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\). Por tanto \(\rm \dfrac{AO}{NA-AO} = \dfrac{AO}{NO} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}-AC}\), de donde \(\rm \dfrac{AO^2}{NO^2} = \dfrac{AC^2}{(lado recto_{AC}-AC})^2\),
luego \(\rm \dfrac{2AO^2}{NO^2} = \dfrac{2AC^2}{(lado recto_{AC}-AC)^2}\). Como, por hipótesis, \(\rm AC^2\geq \frac{1}{2}(lado recto_{AC}-AC)^2\), entonces \(\rm 2AO^2geq NO^2\).
Tracemos diámetros KB, ST de la sección ; tracémosles las paralelas CD, CL , y tracemos las rectas DE, LM perpendiculares al eje .
Ya que \(\rm MO > AO\), entonces \(\rm MO\cdot AO > NO^2\), de donde \(\rm 2MO\cdot AO+2NA\cdot AO > NO^2+2NA\cdot AO\), luego
\(\rm 2(MO+ON+AO)AO > NA^2-2NA\cdot AO+AO^2+2NA\cdot AO\). Por tanto \(\rm 2(MN+AO)AO > NA^2+AO^2\). Entonces
\(\rm \dfrac{MA}{AO} = \dfrac{2(MN+AO)MA}{2(MN+AO)AO} < \dfrac{2(MN+AO)MA}{NA^2+AO^2}\), de donde
\(\rm \dfrac{MA+AO}{AO} = \dfrac{MO}{AO} < \dfrac{2(MN+AO)MA+NA^2+AO^2}{NA^2+AO^2}\).
Ya que \(\rm 2(MN+AO)MA+NA^2+AO^2 = 2(MA+NA+AO)MA+NA^2+AO^2 \)\(\rm = 2MA^2+2MA\cdot AN+2MA\cdot AO+NA^2+AO^2\)\(\rm =
MA^2+2MA\cdot AN + NA^2+MA^2+ 2MA\cdot AO+AO^2\) \(\rm = (MA+AN)^2+(NA+AO)^2= = MN^2+MO^2\),
entonces \(\rm \dfrac{MO}{AO} = \dfrac{MN^2+MO^2}{NA^2+AO^2}\),
de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot AO} < \dfrac{MN^2+MO^2}{NA^2+AO^2}\), luego
\(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2+MO^2} < \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2+AO^2}\). Se tiene
\(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2} = \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2+MO^2}\) [Prop. VII.19], mientras que la relación
\(\rm \dfrac{AC}{lado recto_{AC}} = \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC}\) da \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2} = \dfrac{AO^2}{NA^2+AO^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2+AO^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2} < \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2}\). Por tanto \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 > AC^2+lado recto_{AC}^2\).
Por otra parte \(\rm 2MO^2 > ON^2\), de donde \(\rm 2EO\cdot MO > ON^2\), luego de manera análoga se obtiene que \(\rm ST^2+lado recto_{ST}^2 > KB^2+lado recto_{KB}^2\).
Q. E. D.