Proposición 45

Si el eje transverso de una hipérbola es menor que su lado recto y su cuadrado no es menor que la mitad del de la diferencia entre dicho eje y su lado recto, la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor que la de las de las análogas respecto de un diámetro.

Mantengamos la figura de la cuadragésima segunda proposición , y asegurémonos de que $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ . Entonces $\frac{C N}{A C} = \frac{C N}{C N + N A} = \frac{A O}{A O + O C} = \frac{A O}{A C}$ , de donde $A O = C N$ , luego $\frac{A O}{N A} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ . Por tanto $\frac{A O}{N A - A O} = \frac{A O}{N O} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C} - A C}$ , de donde $\frac{A O^{2}}{N O^{2}} = \frac{A C^{2}}{(l a d o r e c t o_{A C} - A C})^{2}$ , luego $\frac{2 A O^{2}}{N O^{2}} = \frac{2 A C^{2}}{(l a d o r e c t o_{A C} - A C)^{2}}$ . Como, por hipótesis, $A C^{2} \geq \frac{1}{2} (l a d o r e c t o_{A C} - A C)^{2}$ , entonces $2 A O^{2} g e q N O^{2}$ .

Tracemos diámetros KB, ST de la sección ; tracémosles las paralelas CD, CL , y tracemos las rectas DE, LM perpendiculares al eje . Ya que $M O > A O$ , entonces $M O \cdot A O > N O^{2}$ , de donde $2 M O \cdot A O + 2 N A \cdot A O > N O^{2} + 2 N A \cdot A O$ , luego $2 (M O + O N + A O) A O > N A^{2} - 2 N A \cdot A O + A O^{2} + 2 N A \cdot A O$ . Por tanto $2 (M N + A O) A O > N A^{2} + A O^{2}$ . Entonces $\frac{M A}{A O} = \frac{2 (M N + A O) M A}{2 (M N + A O) A O} < \frac{2 (M N + A O) M A}{N A^{2} + A O^{2}}$ , de donde $\frac{M A + A O}{A O} = \frac{M O}{A O} < \frac{2 (M N + A O) M A + N A^{2} + A O^{2}}{N A^{2} + A O^{2}}$ . Ya que $2 (M N + A O) M A + N A^{2} + A O^{2} = 2 (M A + N A + A O) M A + N A^{2} + A O^{2}$ $= 2 M A^{2} + 2 M A \cdot A N + 2 M A \cdot A O + N A^{2} + A O^{2}$ $= M A^{2} + 2 M A \cdot A N + N A^{2} + M A^{2} + 2 M A \cdot A O + A O^{2}$ $= (M A + A N)^{2} + (N A + A O)^{2} == M N^{2} + M O^{2}$ , entonces $\frac{M O}{A O} = \frac{M N^{2} + M O^{2}}{N A^{2} + A O^{2}}$ , de donde $\frac{C N \cdot M O}{C N \cdot A O} < \frac{M N^{2} + M O^{2}}{N A^{2} + A O^{2}}$ , luego $\frac{C N \cdot M O}{M N^{2} + M O^{2}} < \frac{C N \cdot A O}{N A^{2} + A O^{2}}$ . Se tiene $\frac{A C^{2}}{K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2}} = \frac{C N \cdot M O}{M N^{2} + M O^{2}}$ [Prop. VII.19], mientras que la relación $\frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}} = \frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C}$ da $\frac{A C^{2}}{A C^{2} + l a d o r e c t o_{A C}^{2}} = \frac{A O^{2}}{N A^{2} + A O^{2}} = \frac{C N \cdot A O}{N A^{2} + A O^{2}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2}} < \frac{A C^{2}}{A C^{2} + l a d o r e c t o_{A C}^{2}}$ . Por tanto $K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2} > A C^{2} + l a d o r e c t o_{A C}^{2}$ .

Por otra parte $2 M O^{2} > O N^{2}$ , de donde $2 E O \cdot M O > O N^{2}$ , luego de manera análoga se obtiene que $S T^{2} + l a d o r e c t o_{S T}^{2} > K B^{2} + l a d o r e c t o_{K B}^{2}$ .

Q. E. D.