Si el eje es menor que la mitad del lado recto, se le puede trazar a cada lado un diámetro cuyo lado recto sea doble de este diámetro y será menor que el correspondiente a otro diámetro cualquiera situado del mismo lado de la hipérbola. Los lados rectos disminuyen a medida que los diámetros se acercan a los dos primeros.

Dividamos el eje AC Paso 1 en los puntos O, N, de manera que \(\rm \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{CN}{NA} \) Paso 2, entonces \(\rm \dfrac{AC}{OC} =\dfrac{AO+OC}{OC}=\dfrac{CN+NA}{NA} = \dfrac{AC}{NA}\), de donde \(\rm OC = NA\) y \(\rm CN = OA\), luego \(\rm \dfrac{OA}{NA} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\). Como, por hipótesis \(\rm AC < \dfrac{lado recto_{AC}}{2}\), entonces \(\rm AN > 2AO\), de donde \(\rm NA-AO = NO > AO\). Pongamos \(\rm OM = ON\) Paso 3, y sea LM la perpendicular al eje Paso 4, cortando a la sección en el punto L. Tracemos la recta de unión CL Paso 5 y tracemos el diámetro KB paralelo a la recta CL Paso 6. Ya que las rectas CN, AO son rectas homólogas, iguales por construcción, \(\rm \dfrac{BK^2}{diám.conjugado_{BK}^2} = \dfrac{OM}{MN}\) [Prop. VII.6]. Ya que \(\rm diám.conjugado_{BK}^2=BK\cdot lado recto_{BK}\), entonces \(\rm \dfrac{BK^2}{diám.conjugado_{BK}^2} = \dfrac{BK}{lado recto_{BK}}\), luego \(\rm \dfrac{OM}{MN} = \dfrac{BK}{lado recto_{BK}}\). Por tanto \(\rm BK = \frac{1}{2}lado recto_{BK}\).

Tracemos los diámetros DE, TI entre los puntos A, B Paso 7; tracemos, por el punto C, la recta CX paralela al diámetro DE Paso 8, así como la recta CP paralela al diámetro TI Paso 9, y tracemos desde los puntos X y P, las rectas XU, PQ perpendiculares al eje Paso 10. Se tiene \(\rm OU < MO\), de donde \(\rm MO\cdot OU < MO^2\). Ya que \(\rm MO = ON\), se tiene \(\rm MO\cdot OU < ON^2\) y \(\rm MO\cdot OU+(NU+ON)OU < ON^2+(NU+ON)OU\), de donde \(\rm (MO+NU+ON)OU < ON^2+(OU+2ON)OU\), luego \(\rm (MN+NU)OU < ON^2+OU^2+2 MN\cdot OU\). Por tanto \(\rm (MN+NU)OU < (ON+OU)^2\) y así \(\rm (MN+NU)OU < NU^2\). Por tanto \(\rm \dfrac{MU}{OU} = \dfrac{(MN+NU)MU}{(MN+NU)OU} > \dfrac{(MN+NU)MU}{NU^2}\), de donde \(\rm \dfrac{MU+OU}{OU} > \dfrac{(MN+NU)MU+NU^2}{NU^2}\). Pero \(\rm (MN+NU)MU+NU^2 = (MU+2NU)MU+NU^2\) \(\rm= MU^2+2NU\cdot MU+NU^2 =(MU+NU)^2=MN^2\), luego \(\rm \dfrac{MO}{OU} > \dfrac{MN^2}{NU^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot OU} > \dfrac{MN^2}{NU^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2} > \dfrac{CN\cdot OU}{NU^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{BK}^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot OU}{NU^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{DE}^2}\) [Prop. I.15], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{BK}^2} > \dfrac{AC^2}{lado recto_{DE}^2}\), de donde \(\rm lado recto_{BK} < lado recto_{DE}\). Análogamente se demuestra que \(\rm lado recto_{DE} < lado recto_{IT}\), ya que \(\rm UO\cdot OQ < ON^2\) y que \(\rm lado recto_{IT} < lado recto_{AC}\) ya que \(\rm QO\cdot OA < ON^2\).

Por último, si trazamos los diámetros FG, ZJ más alejados del eje que el diámetro KB Paso 11, digo que \(\rm lado recto_{KB} < lado recto_{FG} < lado recto_{ZJ}\). Tracemos, por el punto C, las rectas CS, CY paralelas a los diámetros FG y ZJ Paso 12 y tracemos desde los puntos S e Y las rectas SR y YV perpendiculares al eje Paso 13. Por lo tanto, \(\rm RO\cdot OM > NO^2\), y, procediendo de manera similar, se prueba que \(\rm \dfrac{CN\cdot OR}{NR^2} < \dfrac{CN\cdot OM}{NM^2}\); de modo que es obvio que \(\rm lado recto_{FG} > lado recto_{KB}\). Y como \(\rm VO\cdot OR > ON^2\), entonces \(\rm lado recto_{ZJ} > lado recto_{FG}\).

Q. E. D.