Proposición 35

Si el eje es menor que la mitad del lado recto, se le puede trazar a cada lado un diámetro cuyo lado recto sea doble de este diámetro y será menor que el correspondiente a otro diámetro cualquiera situado del mismo lado de la hipérbola. Los lados rectos disminuyen a medida que los diámetros se acercan a los dos primeros.

Dividamos el eje AC en los puntos O, N, de manera que $\frac{A O}{O C} = \frac{C N}{N A}$ , entonces $\frac{A C}{O C} = \frac{A O + O C}{O C} = \frac{C N + N A}{N A} = \frac{A C}{N A}$ , de donde $O C = N A$ y $C N = O A$ , luego $\frac{O A}{N A} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ . Como, por hipótesis $A C < \frac{l a d o r e c t o_{A C}}{2}$ , entonces $A N > 2 A O$ , de donde $N A - A O = N O > A O$ . Pongamos $O M = O N$ , y sea LM la perpendicular al eje , cortando a la sección en el punto L. Tracemos la recta de unión CL y tracemos el diámetro KB paralelo a la recta CL . Ya que las rectas CN, AO son rectas homólogas, iguales por construcción, $\frac{B K^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2}} = \frac{O M}{M N}$ [Prop. VII.6]. Ya que $d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2} = B K \cdot l a d o r e c t o_{B K}$ , entonces $\frac{B K^{2}}{d i á m . c o n j u g a d o_{B K}^{2}} = \frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K}}$ , luego $\frac{O M}{M N} = \frac{B K}{l a d o r e c t o_{B K}}$ . Por tanto $B K = \frac{1}{2} l a d o r e c t o_{B K}$ .

Tracemos los diámetros DE, TI entre los puntos A, B ; tracemos, por el punto C, la recta CX paralela al diámetro DE , así como la recta CP paralela al diámetro TI , y tracemos desde los puntos X y P, las rectas XU, PQ perpendiculares al eje . Se tiene $O U < M O$ , de donde $M O \cdot O U < M O^{2}$ . Ya que $M O = O N$ , se tiene $M O \cdot O U < O N^{2}$ y $M O \cdot O U + (N U + O N) O U < O N^{2} + (N U + O N) O U$ , de donde $(M O + N U + O N) O U < O N^{2} + (O U + 2 O N) O U$ , luego $(M N + N U) O U < O N^{2} + O U^{2} + 2 M N \cdot O U$ . Por tanto $(M N + N U) O U < (O N + O U)^{2}$ y así $(M N + N U) O U < N U^{2}$ . Por tanto $\frac{M U}{O U} = \frac{(M N + N U) M U}{(M N + N U) O U} > \frac{(M N + N U) M U}{N U^{2}}$ , de donde $\frac{M U + O U}{O U} > \frac{(M N + N U) M U + N U^{2}}{N U^{2}}$ . Pero $(M N + N U) M U + N U^{2} = (M U + 2 N U) M U + N U^{2}$ $= M U^{2} + 2 N U \cdot M U + N U^{2} = (M U + N U)^{2} = M N^{2}$ , luego $\frac{M O}{O U} > \frac{M N^{2}}{N U^{2}}$ . Por tanto $\frac{C N \cdot M O}{C N \cdot O U} > \frac{M N^{2}}{N U^{2}}$ , de donde $\frac{C N \cdot M O}{M N^{2}} > \frac{C N \cdot O U}{N U^{2}}$ . Ya que $\frac{C N \cdot M O}{M N^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{B K}^{2}}$ y $\frac{C N \cdot O U}{N U^{2}} = \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{D E}^{2}}$ [Prop. I.15], entonces $\frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{B K}^{2}} > \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{D E}^{2}}$ , de donde $l a d o r e c t o_{B K} < l a d o r e c t o_{D E}$ . Análogamente se demuestra que $l a d o r e c t o_{D E} < l a d o r e c t o_{I T}$ , ya que $U O \cdot O Q < O N^{2}$ y que $l a d o r e c t o_{I T} < l a d o r e c t o_{A C}$ ya que $Q O \cdot O A < O N^{2}$ .

Por último, si trazamos los diámetros FG, ZJ más alejados del eje que el diámetro KB , digo que $l a d o r e c t o_{K B} < l a d o r e c t o_{F G} < l a d o r e c t o_{Z J}$ . Tracemos, por el punto C, las rectas CS, CY paralelas a los diámetros FG y ZJ y tracemos desde los puntos S e Y las rectas SR y YV perpendiculares al eje . Por lo tanto, $R O \cdot O M > N O^{2}$ , y, procediendo de manera similar, se prueba que $\frac{C N \cdot O R}{N R^{2}} < \frac{C N \cdot O M}{N M^{2}}$ ; de modo que es obvio que $l a d o r e c t o_{F G} > l a d o r e c t o_{K B}$ . Y como $V O \cdot O R > O N^{2}$ , entonces $l a d o r e c t o_{Z J} > l a d o r e c t o_{F G}$ .

Q. E. D.