El rectángulo construido sobre el eje transverso de una hipérbola y su lado recto es menor que el construido sobre un diámetro cualquiera y el suyo; crece a medida que el diámetro se aleja del eje.

Sea AC el eje de una hipérbola, y sean KB, ST otros diámetros cualesquiera; digo que \(\rm AC\cdot lado recto_{AC} < KB\cdot lado recto_{KB} < ST\cdot lado recto_{ST}\).

Tracemos las rectas CL, CD paralelas a los diámetros KB, ST, tracemos las rectas LM, DE perpendiculares al eje, y hagamos que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), luego \(\rm \dfrac{CN}{CA} = \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}\). Como \(\rm \dfrac{CN}{NM} = \dfrac{AC^2}{KB\cdot lado recto_{KB}}\) [Prop. VII.18], entonces \(\rm \dfrac{CN}{NM} = \dfrac{AC^2}{KB\cdot lado recto_{KB}}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN}{NA} > \dfrac{CN}{MN}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}} > \dfrac{AC^2}{KB\cdot lado recto_{KB}}\), luego \(\rm AC\cdot lado recto_{AC} < KB\cdot lado recto_{KB}\).

También, \(\rm \dfrac{CN}{NE} = \dfrac{AC^2}{ST\cdot lado recto_{ST}}\) [Prop. VII.18], de donde \(\rm \dfrac{CN}{NM} = \dfrac{AC^2}{KB\cdot lado recto_{KB}}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN}{NM} > \dfrac{CN}{NE}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{KB\cdot lado recto_{KB}} > \dfrac{AC^2}{ST\cdot lado recto_{ST}}\), luego \(\rm KB\cdot lado recto_{KB} < ST\cdot lado recto_{ST}\).

Q. E. D.