La diferencia entre el eje transverso de una hipérbola y su lado recto es mayor que la de un diámetro y el suyo, y disminuye a medida que el diámetro se aleja del eje.

Sea AC el eje de una hipérbola; sea H su centro, y sean DE, BK cualesquiera otros diámetros. Digo que \(\rm AC-lado recto_{AC} > DE - lado recto_{DE} > BK - lado recto_{BK}\).

Tracemos las rectas CF, CL paralelas a los diámetros DE, BK; tracemos desde los puntos F,L las rectas FQ, LM perpendiculares al eje, y asegurémonos que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\). Entonces \(\rm CN = AO\) y \(\rm NA= OC\), luego \(\rm \dfrac{AC}{lado recto_{AC}} = \dfrac{CN}{OC}\), de donde \(\rm \dfrac{AC}{AC-lado recto_{AC}} = \dfrac{CN}{CN-OC} = \dfrac{CN}{ON}\). Por tanto, \(\rm \dfrac{AC^2}{(AC-lado recto_{AC})^2} = \dfrac{CN^2}{ON^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{ON^2}\). Como \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE-lado recto_{DE})^2} = \dfrac{CN\cdot OQ}{(OQ-QN)^2} = \dfrac{CN\cdot OQ}{ON^2}\) [Prop. VII.16] y \(\rm AO < OQ\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE-lado recto_{DE})^2} > \dfrac{CN\cdot AO}{ON^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{(DE-lado recto_{DE})^2} > \dfrac{AC^2}{(AC-lado recto_{AC})^2}\). Por tanto \(\rm DE-lado recto_{DE} < AC-lado recto_{AC}\).

Análogamente, ya que la recta CL es paralela al diámetro KB y la recta LM es perpendicular al eje, \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-lado recto_{BK})^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM-MN)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{ON^2}\) [Prop. VII.16] y \(\rm OQ < OM \), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-lado recto_{BK})^2} > \dfrac{CN\cdot OQ}{ON^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-lado recto_{BK})^2} > \dfrac{AC^2}{(DE-lado recto_{DE})^2}\). Por tanto \(\rm BK-lado recto_{BK} < DE-lado recto_{DE}\).

Q. E. D.