Proposición 36

La diferencia entre el eje transverso de una hipérbola y su lado recto es mayor que la de un diámetro y el suyo, y disminuye a medida que el diámetro se aleja del eje.

Sea AC el eje de una hipérbola; sea H su centro, y sean DE, BK cualesquiera otros diámetros. Digo que $A C - l a d o r e c t o_{A C} > D E - l a d o r e c t o_{D E} > B K - l a d o r e c t o_{B K}$ .

Tracemos las rectas CF, CL paralelas a los diámetros DE, BK; tracemos desde los puntos F,L las rectas FQ, LM perpendiculares al eje, y asegurémonos que $\frac{C N}{N A} = \frac{A O}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ . Entonces $C N = A O$ y $N A = O C$ , luego $\frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}} = \frac{C N}{O C}$ , de donde $\frac{A C}{A C - l a d o r e c t o_{A C}} = \frac{C N}{C N - O C} = \frac{C N}{O N}$ . Por tanto, $\frac{A C^{2}}{(A C - l a d o r e c t o_{A C})^{2}} = \frac{C N^{2}}{O N^{2}} = \frac{C N \cdot A O}{O N^{2}}$ . Como $\frac{A C^{2}}{(D E - l a d o r e c t o_{D E})^{2}} = \frac{C N \cdot O Q}{(O Q - Q N)^{2}} = \frac{C N \cdot O Q}{O N^{2}}$ [Prop. VII.16] y $A O < O Q$ , entonces $\frac{A C^{2}}{(D E - l a d o r e c t o_{D E})^{2}} > \frac{C N \cdot A O}{O N^{2}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{(D E - l a d o r e c t o_{D E})^{2}} > \frac{A C^{2}}{(A C - l a d o r e c t o_{A C})^{2}}$ . Por tanto $D E - l a d o r e c t o_{D E} < A C - l a d o r e c t o_{A C}$ .

Análogamente, ya que la recta CL es paralela al diámetro KB y la recta LM es perpendicular al eje, $\frac{A C^{2}}{(B K - l a d o r e c t o_{B K})^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M - M N)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{O N^{2}}$ [Prop. VII.16] y $O Q < O M$ , entonces $\frac{A C^{2}}{(B K - l a d o r e c t o_{B K})^{2}} > \frac{C N \cdot O Q}{O N^{2}}$ , luego $\frac{A C^{2}}{(B K - l a d o r e c t o_{B K})^{2}} > \frac{A C^{2}}{(D E - l a d o r e c t o_{D E})^{2}}$ . Por tanto $B K - l a d o r e c t o_{B K} < D E - l a d o r e c t o_{D E}$ .

Q. E. D.