Si el cuadrado del eje mayor de una elipse es igual o menor que la mitad del cuadrado de la suma de dicho eje y su lado recto, la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor que la de las análogas respecto de cualquier diámetro. Esta última suma crece a medida que el diámetro se aleja del eje mayor y es máxima para el eje menor.

Sea AC el eje mayor de una elipse Paso 1, sea DE el eje menor Paso 2, y que \(\rm AC^2 \leq \frac{1}{2}(AC+lado recto_{AC})^2\). Sean, además, otros diámetros KB, ST de la sección Paso 3 a la que trazamos las paralelas CL, CI Paso 4, y tracemos las rectas LM, IP perpendiculares al eje Paso 5.

Hagamos que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}} \) Paso 6, entonces \(\rm \dfrac{CN^2}{CN^2+NA^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2}\). Ya que \(\rm CN = AO\) y \(\rm NA = CO\) se tiene \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{CN^2+NA^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2}\).

Por otra parte, \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{DE} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) [Prop. VII.15], de donde \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{DE} = \dfrac{CN}{CO}\). Ya que \(\rm AC^2 =DE\cdot lado recto_{DE}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{DE^2} = \dfrac{lado recto_{DE}}{DE}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{DE^2} = \dfrac{CN}{CE} = \dfrac{CN\cdot CE}{CE^2}\). Además, la relación \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{DE} = \dfrac{CN}{CO}\) da \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}^2}{DE^2} = \dfrac{CN^2}{CO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{DE^2+lado recto_{DE}^2}{DE^2} = \dfrac{CN^2+CO^2}{CO^2}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot CO}{CN^2+CO^2} = \dfrac{AC^2}{AD^2+lado recto_{DE}^2}\). Ya que \(\rm AO > CO\), se tiene \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2} > \dfrac{AC^2}{DE^2+lado recto_{DE}^2}\), de donde \(\rm AC^2+lado recto_{AC}^2 < DE^2+lado recto_{DE}^2\).

Por otra parte, la relación \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{DE} = \dfrac{CN}{CO}\) da \(\rm \dfrac{CN}{CN+CO} = \dfrac{AC}{AC+lado recto_{AC}}\), de donde \(\rm \dfrac{CN^2}{NO^2} = \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\), luego \(\rm \dfrac{2CN\cdot AO}{NO^2} = \dfrac{2AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\). Ya que, por hipótesis, \(\rm AC^2 \leq \frac{1}{2}(AC+lado recto_{AC})^2\), entonces \(\rm 2CN\cdot AO \leq NO^2\), de donde \(\rm 2CN\cdot MO-2NM\cdot MO < NO^2\cdot MO\)\), luego \(\rm 2MC\cdot MO < NM^2+MO^2\). Por tanto \(\rm \dfrac{2MC\cdot AM}{2MC\cdot MO} > \dfrac{2MC\cdot AM}{NM^2+MO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AM}{MO} > \dfrac{2MC\cdot AM}{NM^2+MO^2}\), luego \(\rm \dfrac{AM+MO}{MO} = \dfrac{AO}{MO} > \dfrac{2MC\cdot AM+NM^2+MO^2}{NM^2+MO^2}\). Ya que \(\rm NA = CO\), se tiene \(\rm 2MC\cdot AM+NM^2+MO^2 \)\(\rm = 2(AH+MH)(AH-MH)+(NH-H)^2+(NH+MH)^2\)\(\rm =2AH^2-2MH^2+2NH^2+2MH^2= 2AH^2+2NH^2=2HC^2+2NH^2\)\(\rm =HC^2+NH^2+2HC\cdot NH+HC^2+NH^2-2HC\cdot NH\)\(\rm =(NH+HC)^2+(NH-HC)^2\)\(\rm =NC^2+NA^2=NC^2+CO^2\), luego \(\rm \dfrac{AO}{MO} > \dfrac{NC^2+CO^2}{NM^2+MO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{CN\cdot MO} > \dfrac{NC^2+CO^2}{NM^2+MO^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{NC^2+CO^2} > \dfrac{CN\cdot MO}{NM^2+MO^2}\). Pero \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{NC^2+CO^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2}\), mientras que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{NM^2+MO^2} = \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2}\) [Prop. VII.19], luego \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2+lado recto_{AC}^2} > \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2}\). Por tanto \(\rm AC^2+lado recto_{AC}^2 < KB^2+lado recto_{KB}^2\).

Por otra parte, \(\rm MN < PO\) o \(\rm MN \geq PO\).

Supongamos en primer lugar que \(\rm MN < PO\). Se tiene \(\rm MN+MO = NP+PO\), de donde \(\rm (MN+MO)^2 = (NP+PO)^2\), luego \(\rm MN^2+MO^2+2 MN\cdot MO = NP^2+PO^2+ 2 NP\cdot PO\). Como, por hipótesis, \(\rm MN < PO\), entonces \(\rm MN\cdot MP + MN\cdot PO < PO\cdot MP+MN\cdot PO\), luego \(\rm MN(MP+PO) < PO(MP+MN)\). Por tanto \(\rm MN\cdot MO < PO\cdot NP\), de donde \(\rm MN^2+MO^2 > NP^2+PO^2\). Por consiguiente, ya que \(\rm PO < AO\) y \(\rm NO^2 > 2 CN\cdot AO\), se tiene \(\rm NO^2 > 2CN\cdot PO\), de donde \(\rm NO^2-2 NP\cdot PO > 2 CN\cdot PO - 2 NP\cdot PO\), luego \(\rm (NP+PO)^2 - NP\cdot PO > 2 PO(CN.NP)\). Por tanto \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO\cdot PC\), de donde \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO(PO-CO)\), luego \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO\cdot (PO-MN)\).

Supongamos en primer lugar que \(\rm MN < PO\). Se tiene \(\rm MN+MO = NP+PO\), de donde \(\rm (MN+MO)^2 = (NP+PO)^2\), luego \(\rm MN^2+MO^2+2 MN\cdot MO = NP^2+PO^2+ 2 NP\cdot PO\). Como, por hipótesis, \(\rm MN < PO\), entonces \(\rm MN\cdot MP + MN\cdot PO < PO\cdot MP+MN\cdot PO\), luego \(\rm MN(MP+PO) < PO(MP+MN)\). Por tanto \(\rm MN\cdot MO < PO\cdot NP\), de donde \(\rm MN^2+MO^2 > NP^2+PO^2\). Por consiguiente, ya que \(\rm PO < AO\) y \(\rm NO^2 > 2 CN\cdot AO\), se tiene \(\rm NO^2 > 2CN\cdot PO\), de donde \(\rm NO^2-2 NP\cdot PO > 2 CN\cdot PO - 2 NP\cdot PO\), luego \(\rm (NP+PO)^2 - NP\cdot PO > 2 PO(CN.NP)\). Por tanto \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO\cdot PC\), de donde \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO(PO-CO)\), luego \(\rm NP^2+PO^2 > 2PO\cdot (PO-MN)\). Por consiguiente, \(\rm \dfrac{2MP(OP-MN)}{2PO(OP-MN)} > \dfrac{2MP(OP-MN)}{NP^2+PO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{MP}{PO} > \dfrac{2MP(OP-MN)}{NP^2+PO^2}\), luego \(\rm \dfrac{MP+PO}{PO} = \dfrac{MO}{PO} > \dfrac{2MP(OP-MN)+NP^2+PO^2}{NP^2+PO^2}\). Como, \(\rm 2MP(OP-MN)+NP^2+PO^2 = 2MP(PO-MP+MP)+NP^2+PO^2\)\(\rm = 2MP^2+2MP\cdot PO-2MP\cdot NP+NP^2+PO^2\)\(\rm = (NP-MP)^2+(PO+MP)^2 = MN^2+MO^2\), entonces \(\rm \dfrac{MO}{PO} > \dfrac{MN^2+MO^2}{NP^2+PO^2}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot PO} > \dfrac{MN^2+MO^2}{NP^2+PO^2}\), y por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2+MO^2} > \dfrac{CN\cdot PO}{NP^2+PO^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2+MO^2} = \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot OP}{NP^2+PO^2} = \dfrac{AC^2}{ST^2+lado recto_{ST}^2}\)[Prop. VII.19], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2} > \dfrac{AC^2}{ST^2+lado recto_{ST}^2}\). Por tanto \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 < ST^2+lado recto_{ST}^2\).

Por otro lado, si \(\rm OP \leq MN\), entonces \(\rm MN^2+MO^2 \leq NP^2+PO^2\), luego \(\rm \frac{NC\cdot MO}{NM^2+MO^2} > \dfrac{NC\cdot OP}{NP^2+PO^2}\). Entonces procediendo como antes se llegará a \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 < ST^2+lado recto_{ST}^2\).

Así es como serán las cosas cuando la perpendicular trazada desde el punto I caiga entre los puntos H y M, o en el punto H, o entre los puntos H y C, de modo que \(\rm MN < NP\). Finalmente, se tiene que \(\rm \dfrac{CN\cdot CO}{CN^2+CO^2} = \dfrac{AC^2}{DE^2+lado recto_{DE}^2}\) y como \(\rm \dfrac{CN\cdot PO}{NP^2+PO^2} = \dfrac{AC^2}{ST^2+lado recto_{ST}^2}\) [Prop. VII.19], entonces \(\rm ST^2+lado recto_{ST}^2 < DE^2+lado recto_{DE}^2\).

Q. E. D.