Si los ejes de una hipérbola son iguales, también lo serán los diámetros conjugados.

Conservando la figura de la vigésima primera proposición, sea el eje AC es igual al eje PI. Ya que AC e IP son ejes conjugados, \(\rm IP^2 = AC\cdot lado recto_{AC}\). Como, por hipótesis, \(\rm AC = IP\), entonces \(\rm AC = lado recto_{AC}\). Por otro lado, \(\rm AH = HC\), luego \(\rm \dfrac{AH}{HC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\); relación según la cual, las rectas AH y HC son homólogas [Prop. VII.6]. Entonces, \(\rm \dfrac{BK^2}{diám.conjugado_{BK}^2} = \dfrac{HE}{HE}\) y \(\rm \dfrac{FG^2}{diám.conjugado_{FG}^2} = \dfrac{HM}{HM}\) [Prop. VII.6], de donde \(\rm BK = diám.conjugado_{BK}\) y \(\rm FG = diám.conjugado_{FG}\), así que \(\rm BK = lado recto_{BK}\) y \(\rm FG = lado recto_{FG}\).

Q. E. D.