Si el eje AC es menor que su lado recto, y no es menor que su mitad Paso 1, digo que este es menor que el lado recto de cualquier diámetro KB Paso 2, y que el lado recto del diámetro KB es menor que el lado recto del diámetro TS Paso 3.

Pongamos \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) Paso 4; desde el punto C, tracemos la recta CL paralela al diámetro KB Paso 5, así como la recta CD paralela al diámetro ST Paso 6, y tracemos por los puntos D, L, las rectas DE, LM perpendiculares al eje Paso 7. Por lo tanto, ya que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), entonces \(\rm \dfrac{CN}{AC} = \dfrac{CN}{CN+NA} = \dfrac{AO}{AO+OC} = \dfrac{AO}{AC}\), luego \(\rm CN = AO\), así como \(\rm NA = OC\), y por lo tanto \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2} = \dfrac{CN^2}{NA^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2}\). Pero, \(\rm \dfrac{lado recto_{AC}}{2} \leq AC < lado recto_{AC}\); por lo tanto \(\rm \dfrac{NA}{2}\leq CN=AO < NA\), luego \(\rm AO < NA\leq 2AO\). Por otro lado, \(\rm MA+2NA = MN+NA > 2NA\); por lo tanto \(\rm (MN+NA)AO > 2NA\cdot AO\) y como \(\rm NA \leq 2AO\), entonces \(\rm (MN+NA)AO > NA^2\). En consecuencia, \(\rm \dfrac{(MN+NA)AM}{(MN+NA)AO} = \dfrac{AM}{AO} < \dfrac{(MN+NA)AM}{NA^2}\), de donde \(\rm \dfrac{MO}{AO} =\dfrac{AM+AO}{AO} < \dfrac{(MN+NA)AM+NA^2}{NA^2}\). Como \(\rm (MN+NA)AM+NA^2 = (AM+2NA)AM+NA^2\)\(\rm = (AM+NA)^2 = MN^2\), entonces \(\rm \dfrac{MO}{AO} < \dfrac{MN^2}{NA^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot AO} < \dfrac{MN^2}{NA^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2} < \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2}\). Como \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{KB}^2}\) [Prop. VII.15], y \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{NA^2}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{KB}^2} < \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2}\), luego \(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{KB}\).

Por otro lado, ya que \(\rm AN \leq 2AO\), entonces \(\rm MN = MA+AN\leq MA+2AO<2(MA+AO)= 2MO\). Como \(\rm EN+MN > 2MN\) entonces \(\rm (EN+MN)MO > MN^2\). Entonces \(\rm \dfrac{(NE+MN)ME}{(NE+MN)MO} < \dfrac{(NE+MN)ME}{MN^2}\), luego \(\rm \dfrac{ME}{MO} = \dfrac{(NE+MN)ME}{MN^2}\) y \(\rm \dfrac{EO}{MO} = \dfrac{ME+MO}{MO} < \dfrac{(NE+MN)ME+MN^2}{MN^2} = \dfrac{EN^2}{MN^2}\). Pero \(\rm \dfrac{EO}{OM} = \dfrac{CN\cdot OE}{CN\cdot MO}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot OE}{CN\cdot MO} < \dfrac{EN^2}{MN^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot OE}{EN^2} < \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot OE}{EN^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{ST}^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{BK}^2}\) [Prop. VII.15], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{ST}^2} < \dfrac{AC^2}{lado recto_{BK}^2}\), luego \(\rm lado recto_{BK} < lado recto_{ST}\). Por tanto \(\rm lado recto_{AC} < lado recto_{KB} < lado recto_{ST}\).

Q. E. D.