La
diferencia entre el eje mayor
de una elipse y su lado recto es mayor que la de un diámetro y el suyo, y disminuye
a medida que el diámetro se aleja del eje.
Por otro lado, la diferencia entre el lado recto correspondiente al eje menor y el eje menor es mayor que la diferencia entre los lados rectos y los diámetros
a los que corresponden y disminuye a medida que el diámetro se aleja del eje menor.
Además, la diferencia entre el lado recto correspondiente al eje menor y el eje menor es mayor que la diferencia entre el eje mayor y su lado recto.
Sea AC el eje mayor de una elipse ; sea DE el eje menor , y sean
KB, FG otros diámetros, ambos mayores que los lados rectos
correspondientes . Digo que \(\rm AC-lado recto_{AC} > BK-lado recto_{BK} > FG-lado recto_{FG}\).
En efecto, se tiene, por hipótesis, \(\rm BK > lado recto_{BK}\) y \(\rm FG > lado recto_{FG}\).
Ya que \(\rm AC > BK\) [Prop. VII.24] y \(\rm lado recto_{BK} > lado recto_{AC}\); luego
\(\rm AC-lado recto_{AC} > BK-lado recto_{BK}\).
Análogamente, \(\rm BK-lado recto_{BK} > FG-lado recto_{FG}\).
Supongamos ahora que \(\rm DE < lado recto_{DE}\), \(\rm BK < lado recto_{BK}\) y \(\rm FG < lado recto_{FG}\).
Digo que \(\rm lado recto_{DE}-DE > lado recto_{FG}-FG > lado recto_{BK}-BK\).
En efecto, se tiene, por hipótesis, \(\rm BK < lado recto_{BK}\) y \(\rm FG < lado recto_{FG}\).
Ya que \(\rm DE > FG\) [Prop. VII.24] y \(\rm lado recto_{DE} > lado recto_{FG}\); luego
\(\rm lado recto_{DE}-DE > lado recto_{FG}-FG\).
Análogamente, \(\rm FG-lado recto_{FG} > BK-lado recto_{BK}\).
Finalmente se tiene \(\rm AC^2 = DE\cdot lado recto_{DE}\) y \(\rm DE^2= AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.15], de donde
\(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{DE} = \dfrac{DE\cdot lado recto_{DE}}{DE^2} = \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\),
luego \(\rm \dfrac{lado recto_{DE}}{lado recto_{DE} - DE} = \dfrac{AC}{AC-lado recto_{AC}}\).
Ya que \(\rm lado recto_{DE} > AC\) [Prop. I.15], entonces \(\rm lado recto_{DE}-DE > AC-lado recto_{AC}\).
Q. E. D.